Linear abhängig / komplanar

16.03.2015, 17:54

Nina000

Linear abhängig / komplanar

Meine Frage:
Guten Abend,

ich wäre froh wenn mir Jemand erklären könnte, warum in der Aufgabe im Anhang bei c, die Vektoren komplanar sind.

Als Definition habe ich gelernt, dass komplanar bedeutet, dass die Vektoren alle in einer Ebene liegen, also könnte ich die Ebene theoretisch mit einem Messer durchschneiden und alles was außerhalb ist, ist dann nicht komplanar...

und auch bei c) "je 2 Vektoren sind kollinear" wären FD und CA kollinear?, also wenn der Vektor AC CA wäre, weil die ja dann parallel sind?

Für die lineare Abhängigkeit kenne ich folgendes:
- in R2 sind 3 Vektoren oder mehr linear abhängig,
- in R3 sind 4 oder mehr Vektoren linear abhängig.

Also zum Verständnis, dann müssten doch bei c) die 3 Vektoren zusammen linear abhängig sein oder?

Bin für jede Hilfe dankbar,

Gruß

Nina

Meine Ideen:
siehe oben

16.03.2015, 18:10

moody_ds

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RE: Linear abhängig / komplanar

Zitat:

Original von Nina000
und auch bei c) "je 2 Vektoren sind kollinear" wären FD und CA kollinear?, also wenn der Vektor AC CA wäre, weil die ja dann parallel sind?

Wenn ich jetzt nicht ganz auf dem Schlauch stehe ist sind auch $\begin{eqnarray*} \vec{AC} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{FD} \end{eqnarray*}$ kollinear.

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \lambda \cdot \vec{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ kann ja auch negativ sein, darum können die auch in entgegengesetzte Richtungen zeigen. Du siehst ja auch dass die Parallel sind.

Zitat:

Original von Nina000
Also zum Verständnis, dann müssten doch bei c) die 3 Vektoren zusammen linear abhängig sein oder?

16.03.2015, 18:18

Nina000

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RE: Linear abhängig / komplanar
aber die sollen ja nicht kollinear sein verwirrt

Der Anhang ist die Lösung und die Lösung sagt, dass keine 2 Vektoren kollinear sind.

Das ist alles so verwirrend traurig

16.03.2015, 18:27

moody_ds

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RE: Linear abhängig / komplanar

Zitat:

Original von Nina000
aber die sollen ja nicht kollinear sein verwirrt

Der Anhang ist die Lösung und die Lösung sagt, dass keine 2 Vektoren kollinear sind.

So wie ich das verstanden haben sollen jeweils 2 Vektoren kollinear sein.

Guck dir mal $\begin{eqnarray*} \vec{AC} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{FE} \end{eqnarray*}$ an verwirrt

16.03.2015, 18:32

Nina000

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RE: Linear abhängig / komplanar
kollinear heißt doch in einer Ebene
also wären das doch FD und AC, weil die liegen ja in einer Ebene, aber weil die entgegengesetzt sind, sind sie nicht kollinear?

AC und FE sind doch nicht in einer Ebene oder?

16.03.2015, 18:52

moody_ds

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Ja genau AC und FE sind nicht in einer Ebene & nicht parallel. Damit hast du auf jeden Fall schonmal 2 Vektoren gefunden die nicht kollinear sind und somit können auch nicht jeweils 2 Vektoren kollinear sein. Daher die Antwort aus deiner Lösung.

Bei dem von mir genannten Beispiel mit AC und FE wollte ich dir nur verdeutlichen dass 2 Vektoren auch kollinear sein können, wenn sie in entgegen gesetzte Richtungen zu zeigen.

[attach]37486[/attach]

Die beiden wären z.B. kollinear wenn die Vektoren jetzt z.B. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ lauten würden.

16.03.2015, 19:06

Nina000

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okay das ist nachvollziehbar aber wieso sind die 3 Vektoren dann komplanar?

Also ich denke FD und AC sind in einer Ebene
und FE ist in einer anderen Ebene
oder liege ich falsch? verwirrt

16.03.2015, 19:56

moody_ds

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Ich finde das jetzt ohne konkrete Zahlen nicht so schön zu erklären, aber ich sehe das aus der Zeichnung erstmal so dass (1) FD und AC kollinear sind.

Die Bedingung (2) für Komplanarität lautet:

$\begin{eqnarray*} \alpha \cdot \vec{AC} + \beta\cdot \vec{FD} + \gamma\cdot \vec{FE} = \vec{0} \end{eqnarray*}$

Muss dafür erfüllt werden können, dass nicht $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta, \gamma \end{eqnarray*}$ gleichzeitig 0 sind.

Aus (1) wissen wir schonmal dass es zumindest ein $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und/oder $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ gibt was nicht 0 ist. Also gibt es eine Kombination aus $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta, \gamma \end{eqnarray*}$ für den Fall dass nicht alle 0 sind. Also komplanar.

Anders gesagt, du kannst AC aus einem Vielfachen von FD darstellen, mit den passenden Vorzeichen wird diese Summe 0. Und dann kannst du 0 mal FE dazuaddieren und die Summe ist immernoch 0 und die Bedingung (2) ist erfüllt.

Falls das ein anderes Mitglied sieht und das besser als ich erklären kann, bitte posten Willkommen

16.03.2015, 22:08

moody_ds

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Ich habe mir das nochmal angeguckt und komme zu dem Schluss dass die Vektoren nicht komplanar sind.
Ich gehe davon aus, dass die Lösung falsch ist. Weiß nicht was die heute nachmittag gesehen habe, was mich hat denken lassen die Vektoren lägen in einer Ebene, habe ja sogar in einem anderen Post geschrieben, dass Sie nicht in einer Ebene liegen. Shame on me böse

Ich habe dir auch ne PN geschrieben, damit du das hier nicht übersiehst.

16.03.2015, 22:26

Bürgi

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Guten Abend,

ich bitte um Entschuldigung, dass ich mich hier einmische, bin auch gleich wieder weg.

Zitat:

Als Definition habe ich gelernt, dass komplanar bedeutet, dass die Vektoren alle in einer Ebene liegen

Das ist zur Beantwortung der Frage völiig ausreichend.

[attach]37490[/attach]

Durch die Punkte A, C und S wird eine Ebene definiert (= Seitenfläche des Tetraeders) und die Vektoren $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AC} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{FD} \end{eqnarray*}$ müssen in dieser Ebene liegen, da ihre Anfangs- und Endpunkte auf Geraden liegen, die in der Ebene ACS liegen.

.... und tschüs! Wink

16.03.2015, 22:32

moody_ds

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Danke Bürgi! Ich hatte eh gehofft dass hier jemand nochmal drüber schaut weil ich am Ende selbst verwirrt war. Dann habe ich die Aufgabe falsch verstanden, ich dachte alle 3 Vektoren müssten komplanar sein.

16.03.2015, 22:59

opi

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Zitat:

Original von moody_ds
Dann habe ich die Aufgabe falsch verstanden, ich dachte alle 3 Vektoren müssten komplanar sein.

Laut Aufgabe müssten sie das und sind es auch.

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{FD} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{FE} \end{eqnarray*}$ spannen eine Ebene auf, und diese Ebene ist parallel zur von $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AC} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BC} \end{eqnarray*}$ aufgespannten Ebene. Nach geeigneter Verschiebung liegen alle drei Vektoren in einer Ebene und sind komplanar.

17.03.2015, 09:29

Nina000

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Zitat:

Original von opi

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{FD} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{FE} \end{eqnarray*}$ spannen eine Ebene auf, und diese Ebene ist parallel zur von $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AC} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BC} \end{eqnarray*}$ aufgespannten Ebene. Nach geeigneter Verschiebung liegen alle drei Vektoren in einer Ebene und sind komplanar.

ich dachte eine Ebene wäre ACS und die andere Ebene ist BCS ?
wieso kann man das verschieben? Und wieso ist FD und FE eine Ebene? verwirrt

17.03.2015, 10:14

moody_ds

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Sorry Nina, dann stimmten meine ersten Überlegungen und auch die (etwas weniger greifbare Begründung).

Ich mach's mal mit einer Zeichnung wieder gut Wink

[attach]37491[/attach]

Du siehst die Ebene EDF und die Ebene ABC. Die beiden sind parallel zueinander.

Du kannst dir nun vorstellen, dass die Ebene EDF durch FD und FE aufgespannt wird.

Da AC parallel zu der Ebene ist, kannst du AC darein verschieben gedanklich, und alle 3 Vektoren liegen in einer Ebene. Dieses hineinverschieben setzt sich aus der Bedingung der linearen Abhängigkeit.

Ist das so etwas klarer geworden?

lg moody

17.03.2015, 17:15

Nina000

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Danke, danke, daaanke moody_ds Freude

mit der Zeichnung habs jetzt sogar ich kapiert!
Hatte die Ebene falsch gesehen...

Danke auch an die anderen Freude

LG Nina

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