Häufungspunkte einer Reihe bestimmen

16.03.2015, 18:48

skulpt

Häufungspunkte einer Reihe bestimmen

Hi, ich hab folgende Angabe:

$\begin{eqnarray*} a_{n}=(-1)^{n}n^{(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}+1}}+cos\frac{n\pi }{2} \end{eqnarray*}$

Ich komme durch überlegen eventuell auf ein Ergebnis, wie genau ich aber korrekt mathematisch hinkomm, ist mir ein Rätsel.

1) Ich teile die Reihe auf, in
a) $\begin{eqnarray*} (-1)^{n}n^{(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}+1}} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} cos\frac{n\pi }{2} \end{eqnarray*}$

2) Ich schau mir an, ob ich auf Häufungspunkte der Reihen komm:
b) Die Folgenglieder sind hier 1, 0, -1, 0, ..., und sie wiederholen sich. Daher sind hier die Häufungspunkte 1, 0, -1.
a) Hier stellt sich nun die erste Frage. Was wäre der mathematisch korrekte Weg, sinnvoll auf das Ergebnis zu kommen (falls es richtig ist)?
Ich stelle nämlich fest:
Die Folge lässt sich auf zwei Teilfolgen aufteilen, nämlich welche mit ungeraden n, und welche mit geraden n.
Weiters stelle ich fest, dass es sich noch weiter aufteilen lässt, und zwar folgendermaßen (x ist hier eine beliebige Zahl aus N)
a.1) Ist n=1+4*x, dann ist das jeweilige $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gleich -n. Jedes $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ dieser Teilfolge ist kleiner als das vorhergehende, also konvergiert die Teilfolge gegen -unendlich.
a.2) Ist n=2+4*x, dann ist das jeweilige $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gleich n. Jedes $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ dieser Teilfolge ist größer als das vorhergehende, also konvergiert die Teilfolge gegen unendlich.
a.3) Ist n=3+4*x, dann ist das jeweilige $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gleich -n^-1. Jedes $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ dieser Teilfolge ist größer als das vorhergehende, daher konvergiert sie gegen 0.
a.4) Ist n=4+4*x, dann ist das jeweilige $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gleich n^-1. Jedes $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ dieser Teilfolge ist kleiner als das vorhergehende, daher konvergiert sie gegen 0.

3)
Setz ich diese Teilfolgen wieder zur ganzen Folge zusammen, sehe ich daher, dass die einzigen Häufungspunkte der Grenzwert sind, da sonst in keiner Epsilon-Umgebung einer Zahl unendlich viele Folgenglieder liegen.
Daher würde die Folge a etwa so ausschauen:
{0, a.1.1, a.2.1, a.3.1, a.4.1, a.1.2, ...}
Man sieht, dass sich hier vier Folgenglieder nacheinander abwechseln und dann ab dem nächsten Index wiederholen. Somit wäre man irgendwann bei
{-inf, inf, 0, 0}
Jetzt habe ich noch die Folge b. Diese schaut etwa so aus:
{1, 0, -1, 0, 1, ...}
hier wiederholen gibt es auch eine Wiederholung mit einem Zyklus Größe 4.
Ab einem bestimmten Punkt könnte ich jetzt also a und b abgleichen:
{-inf, inf, 0, 0, ...}
{0, -1, 0, 1, ...}
-inf+0=-inf, inf-1=inf, 0+0=0, 0+1=1. Somit sind die Häufungspunkte 0 und 1. lim sup ist daher 1, lim inf ist 0.

Jedoch bin ich mir sicher, dass es hier nicht so gedacht ist, und es sicher irgendeine sinnvollere herangehensweise gibt. Hat da eventuell jemand einen Tipp dazu?

16.03.2015, 19:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von skulpt
Hier stellt sich nun die erste Frage. Was wäre der mathematisch korrekte Weg, sinnvoll auf das Ergebnis zu kommen (falls es richtig ist)?

Welches Ergebnis? Oder besser gesagt: Zu welcher Fragestellung überhaupt? Du hast eine Folge angegeben, aber keine Frage dazu. unglücklich

Vielleicht hast du die Frage ja weiter unten in diesem langen Fließtext versteckt, soviel Geduld habe ich nicht gehabt: Die gehört oben mit hin!

16.03.2015, 19:10

skulpt

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Äh, ja, sorry. Mir ist der ganze Text ein mal verloren gegangen, deswegen war ich beim 2. Mal etwas vergesslich.

Gesucht sind die Häufungspunkte, lim sup und lim inf der angegebenen Folge.

16.03.2015, 19:32

HAL 9000

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Viele richtige Ideen, aber dann in der Form missverständlich umgesetzt - Beispiel:

Zitat:

Original von skulpt
a.2) Ist n=2+4*x, dann ist das jeweilige $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gleich n. Jedes $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ dieser Teilfolge ist größer als das vorhergehende, also konvergiert die Teilfolge gegen unendlich.

#
Es ist nicht $\begin{align*} a_n=n \end{align*}$ , sondern allenfalls $\begin{align*} (-1)^nn^{(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}+1}} = n \end{align*}$ . Das Symbol $\begin{align*} a_n \end{align*}$ ist "besetzt" durch die Aufgabenstellung und sollte nicht zwischendurch frisch fröhlich in der Bedeutung geändert werden - das ergibt nur Chaos. Tatsächlich ist in diesem Fall dann nämlich $\begin{align*} a_n = n-1 \end{align*}$ , wenn man nämlich noch den dazu gehörenden Kosinusterm einbezieht.

Und dann noch zur Formulierung: Diese Teilfolge konvergiert nicht, sie divergiert bestimmt gegen unendlich - so die korrekte Sprachregelung. Und wenn es um reelle Häufungspunkte geht, dann gehört unendlich nicht dazu, denn unendlich ist keine reelle Zahl - aber für die Bestimmung von limsup ist es natürlich von Belang.

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