Unbestimmtes Integral mit Verkettung

16.03.2015, 21:52

Seppelkoi

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Unbestimmtes Integral mit Verkettung

Meine Frage:
Hallo Leute,

hier wurde mir bisher immer so toll geholfen, deswegen bin ich hier im Moment "Stammgast".

Ich soll von $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! sin(ln(x)) \, dx \end{eqnarray*}$ das unbestimmte Integral bestimmen.

Meine Ideen:
Ich habe versucht, ln(x) zu substituieren. Also hatte ich dann nur noch sin(z) da stehen. Dies habe ich versucht zu integrieren und komme auf:

$\begin{eqnarray*} -cos(ln(x)) * 1/ln(x) \end{eqnarray*}$

Das ist natürlich total falsch... Ich kann glaube ich nicht richtig substituieren, da mir das nie jemand gescheit erklären konnte. Ich setze ln(x) = z und hau das in den Sinus rein, dann habe ich $\begin{eqnarray*} ln(x) = dz/dx \end{eqnarray*}$ und das stelle ich nach dx um, somit bekomme ich $\begin{eqnarray*} dx = dz/ln(x) \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig? Ich weiß da einfach nicht mehr weiter.

Vielen Dank für eure Hilfe smile

smile

16.03.2015, 22:03

grosserloewe

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RE: Unbestimmtes Integral mit Verkettung
Wink

Wink

Hallo,

die Substution

z=ln(x) ist richtig

Du kommst auf :

$\begin{eqnarray*} \int e^z *sin(z) \, dz \end{eqnarray*}$

Integriere danach partiell

16.03.2015, 22:08

Seppelkoi

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Hi

smile

Na, dann bin ich ja mal froh, dass ich nicht komplett falsch lag.

Das partielle Integrieren bekomme ich hin, mir wird nur noch nicht ganz klar, wie du auf deinen angegebenen Term durch Substitution kommst.

Würde es dir viel Mühe bereiten, einmal kurz den Schritt von $\begin{eqnarray*} sin(z) mit z= ln(x) \end{eqnarray*}$ zu deinem Ergebnis aufzuschreiben?

16.03.2015, 22:17

grosserloewe

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Wink

$\begin{eqnarray*} z=ln(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} =\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx= x *dz \end{eqnarray*}$

einesetzt:

= $\begin{eqnarray*} \int sin(z) *x *dz \ \end{eqnarray*}$

das x mußt Du noch ersetzen aus der Substitution:

(alles e hoch nehmen)

$\begin{eqnarray*} e^z=x \end{eqnarray*}$

ergibt das angegebene Integral

smile

smile

16.03.2015, 22:27

Seppelkoi

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Vielen Dank,

Aber warum wird aus dem $\begin{eqnarray*} x = e^z \end{eqnarray*}$ ??

Irgendwie stehe ich grad auf dem Schlauch. Warum muss ich das X ersetzen? Ich dachte ich Substituiere ln(x).

Siehst du, das meine ich, ich hab keine Ahnung wie man Substituiert denke ich *schäm* unglücklich

unglücklich

1/x ist die Ableitung von ln(x), das ist mir klar.

16.03.2015, 22:32

grosserloewe

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Wink

Du mußt alles einheitlich auf das z bringen.

Zur anderen Frage:

$\begin{eqnarray*} z=ln(x) \end{eqnarray*}$

jetzt beide Seiten e hoch nehmen.

die e und ln Funktion sind Umkehrfunktionen und heben sich auf.

Also:

$\begin{eqnarray*} e^z= e^{ln(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^z=x \end{eqnarray*}$

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16.03.2015, 22:34

Seppelkoi

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Bin gerade noch mehr überfordert, da sin(z) und e hoch z in diesem Fall beliebig oft integrierbar sind und die partielle Integration so zu keiner Lösung kommt?

Bis ich das alles in Latex eingetippt habe mit dem Formeleditor ist ein Monat rum...

Ich komme auf jeden Fall auf $\begin{eqnarray*} sin(z) * e^z - \int_{a}^{b} \! cos(z) * e^z \, dz \end{eqnarray*}$ und könnte nun ewig so weit machen, oder nicht?

Dieses Thema schafft mich...

16.03.2015, 22:38

Seppelkoi

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Zitat:

Original von grosserloewe
Wink

Wink

Du mußt alles einheitlich auf das z bringen.

Zur anderen Frage:

$\begin{eqnarray*} z=ln(x) \end{eqnarray*}$

jetzt beide Seiten e hoch nehmen.

die e und ln Funktion sind Umkehrfunktionen und heben sich auf.

Also:

$\begin{eqnarray*} e^z= e^{ln(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^z=x \end{eqnarray*}$

Das hab ich nun verstanden, vielen Dank smile

smile

17.03.2015, 08:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von Seppelkoi
Ich komme auf jeden Fall auf $\begin{eqnarray*} sin(z) * e^z - \int_{a}^{b} \! cos(z) * e^z \, dz \end{eqnarray*}$ und könnte nun ewig so weit machen, oder nicht?

Die Grenzen solltest du erstmal weglassen. Wenn du noch einmal partiell integrierst, erhältst du eine Gleichung, die du nach dem gesuchten Integral umstellen kannst.

17.03.2015, 10:28

Seppelkoi

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Hab gestern nicht mehr weiter gemacht, dafür heute mit frischer Energie smile

smile

Also nach 2 mal partieller Integration komme ich auf

$\begin{eqnarray*} sin(z) * e^z - cos(z) * e^z + \int_{}^{} \! sin(z)*e^z \, dz \end{eqnarray*}$

Wenn ich das richtig sehe, wird sich diese Abfolge immer wieder wiederholen, da cos(z) wieder die Ableitung von sin(z) ist usw.

Das heißt ich brauche eigentlich nur das ursprüngliche Integral bestimmen, und das wäre ja dann

$\begin{eqnarray*} sin(z) * e^z - cos(z) * e^z \end{eqnarray*}$ plus eine unendliche Abfolge dieses Ausdruckes. Kann ich das irgendwie darstellen?

17.03.2015, 10:45

klarsoweit

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Da hast du ein Minus verschlampert. Korrekt ist folgende Rechnung:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! sin(z) \cdot e^z \, dz = sin(z) \cdot e^z - \int_{}^{} \! cos(z) \cdot e^z \, dz = sin(z) \cdot e^z - \left (cos(z) \cdot e^z - \int_{}^{} \! -sin(z) \cdot e^z \, dz \right) \end{eqnarray*}$

Und diese hübsche Gleichung kannst du nun nach $\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! sin(z) \cdot e^z \, dz \end{eqnarray*}$ umstellen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.03.2015, 10:52

Seppelkoi

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Ich glaub ich geb es auf.

Was soll ich da wohin umstellen? Es gibt doch gar kein = oder so wonach ich das umstellen könnte.

Generell verstehe ich grad nur noch Bahnhof.

Das Integral führt sich doch unendlich fort, was bringt es mir also, das nach irgendwas umzustellen? Ich muss doch den letzten Term trotzdem integrieren oder nicht?

17.03.2015, 10:55

Seppelkoi

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Verstehe nur noch Bahnhof.

Warum sollte ich das umstellen wollen/sollen? Nach welchem = denn?

17.03.2015, 11:02

kgV

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In Vertretung: $\begin{eqnarray*} {\color{red}\int_{}^{} \! sin(z) \cdot e^z \, dz =} sin(z) \cdot e^z - \int_{}^{} \! cos(z) \cdot e^z \, dz = {\color{red} sin(z) \cdot e^z - \left (cos(z) \cdot e^z - \int_{}^{} \! -sin(z) \cdot e^z \, dz \right)} \end{eqnarray*}$

Versuch es mal mit der rot markierten Gleichung Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da sind dann auch keine lästigen Extra-Integrale mehr smile

smile

Lg
kgV

Wink

17.03.2015, 11:08

Seppelkoi

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$\begin{eqnarray*} sin(z) * e^z - cos(z) * e^z = 0 \end{eqnarray*}$ ???

Korrekt?

17.03.2015, 11:09

HAL 9000

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Ich vermute mal, da ist eine Denkblockade bei Seppelkoi, das Integral so wie andere Terme zu behandeln. Daher ist es didaktisch vielleicht hilfreich, die Gleichung

$\begin{align*} \int \sin(z) \cdot e^z ~ \dd z = \sin(z) \cdot e^z - \cos(z) \cdot e^z - \int \sin(z) \cdot e^z ~ \dd z \end{align*}$

mit der Abkürzung $\begin{align*} I:= \int \sin(z) \cdot e^z ~ \dd z \end{align*}$ zu schreiben als

$\begin{align*} I = \sin(z) \cdot e^z - \cos(z) \cdot e^z - I \end{align*}$ .

Und das kann man nun einfach nach dem gesuchten $\begin{align*} I \end{align*}$ auflösen.

17.03.2015, 11:10

kgV

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Nein, da ist dir ein Missgeschick bei den Vorzeichen unterlaufen. Das Sinus-Integral wollen wir eigentlich schon in der Bestimmungsgleichung haben Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.03.2015, 11:13

Seppelkoi

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ICH HABS!!!!! (denke ich)

$\begin{eqnarray*} \frac{sin(z)*e^z-cos(z)*e^z}{2} \end{eqnarray*}$

Stimmt das nun so? Und dann muss ich eigentlich nur noch rücksubstituierten oder?

Ich danke euch echt mega doll sehr für eure Hilfe! smile

smile

17.03.2015, 11:15

kgV

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So sieht's gut aus Freude

Freude

Jep, jetzt noch resubstituieren und das war's dann (naja, ein bisschen Schönheitskosmetik kann man dann noch betreiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

17.03.2015, 11:25

Seppelkoi

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Das unbestimmte Integral ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{x(sin(ln(x))-cos(ln(x))}{2} + c \end{eqnarray*}$

Vielen Dank! smile

smile

smile

smile

Tanzen

Mein Problem bei solchen Dingen ist immer, dass ich nie weiß, was man "darf" und was nicht. Deswegen auch das Problem mit dem Umstellen...

17.03.2015, 11:29

kgV

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Jup, passt so smile

smile

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