Randbedingungen als Zusatzterm in Differentialgleichungen implementieren

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Daniel_Escobar Auf diesen Beitrag antworten »
Randbedingungen als Zusatzterm in Differentialgleichungen implementieren
Meine Frage:
Hallo,

mich würde interessieren, ob jemand folgende Methodik kennt bzw mir dazu etwas sagen kann. Vorab: das ganze soll für numerische Strömungsmechanik genutzt werden. (Ich bin kein Mathematiker und hoffe, dass ich mich korrekt ausdrücke):

Sagen wir, ich möchte beispielsweise ein eindimensionales Temperaturleitungsproblem lösen, welches durch folgende DGL beschrieben wird: dT/dt = a*d²T/dx². (T = Temperatur, a = Temperaturleitfähigkeit, x = Koordinate).

Dann habe ich weiterhin bestimmte Randbedingungen an den Grenzen meines Rechen- oder Simulationsgebietes, nehmen wir als Beispiel für eine der Wände: dT/dx = 0.

Die Idee: die Randbedingungen als Zusatzterm in Differentialgleichungen implementieren, mit der folgenden Methode: dT/dt = a*d²T/dx² + A*(dT/dx)

Der Faktor A soll dann innerhalb des Rechengebietes den Wert 0 annehmen um die ursprüngliche Transportgleichung beizubehalten. Nur in Wandnähe soll A einen sehr großen Wert annehmen. Dies hat dann die Funktion sicherzustellen, dass die Randbedingung erfüllt wird um das gesamte Produkt 0 werden zu lassen und damit auch wieder die Transportgleichung beizubehalten.

Dies ist wie gesagt ein willkürliches Beispiel um die Idee zu verdeutlichen. Ich denke, dass diese Methode bereits existiert, aber ich weiß weder wie die bei Mathematikern genannt wird noch habe ich dazu etwas in Veröffentlichungen finden können. Daher wäre ich über jeden Tipp dankbar

Wie gesagt, das ganze wird mit Computational Fluid Dynamics modelliert und simuliert.

Grüße und Danke

Meine Ideen:
s.o.
DrummerS Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Randbedingungen als Zusatzterm in Differentialgleichungen implementieren
Hallo Daniel,

du hast vermutlich eine Strömung oder ein Strömungsphänomen und irgendwo eine Wärmequelle (vllt. die Wand?),
weshalb du eine numerisch Berechnung durchführen (lassen) willst.

Dein Problem ist vermutlich komplexer als gedacht:
1. Die Größen, aus denen die Temperaturleitfähigkeit zusammengesetzt ist, sind ebenfalls temperaturabhängig.
2. Eine Strömung ist geprägt durch u.a. Geschwindigkeitsgradienten an Wänden: du hast eine erzwungene Konvektion
3. hinzu kommt eventuell eine überlagerte freie Konvektion.
4. dein Modellraum muss entsprechend räumlich diskretisiert werden. Die Genauigkeit der Diskretisierung muss entsprechend der Stärke der Geschwindigkeitsgradienten gewählt werden.
5. usw.

Tipp: Verwende ein Strömungssimulations-Programm
Daniel_Escobar Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo DrummerS,

vielen Dank für die Antwort. ich habe mich wohl nicht deutlich genug ausgedrückt. Ich arbeite bereits mit CFD, und ja dieses Problem, welches allerdings nur ein Beispiel ist, soll ja auch mit CFD modelliert/simuliert werden. Das schrieb ich in meinem letzten Satz.

Konkret arbeite ich mit OpenFOAM. Es ging in meinem Post lediglich um die Frage des Modellierungsansatzes, bei dem die RB in die DGL eingebaut wird. Normalerweise sind die beiden Gleichungen ja getrennt. Bei einer "offenen" Software wie OpenFOAM kann ich ja die Solver etc. manipulieren.

Ich habe hier bewusst ein möglichst einfaches physikalisches Beispiel gewählt, damit ich direkt die Methode erläutern kann. Hier sollen vorerst temperaturabhängige Stoffeigenschaften, natürliche Konvektion usw vernachlässigt werden. Räumliche Diskretisierung ist auch klar.

Ich suche wie gesagt mehr Infos zu der Methode die DGL und RB wie unten stehend zu formulieren und dann entsprechend in einer CFD-Umgebung umzusetzen, als alternative zur klassischen Problemformulierung. Und wie gesagt, die Methode muss eigentlich existieren, zumindest irgendein Mathematiker oder Physiker wird so was dergleichen mal für irgendeinen Fall formuliert und ggf. simuliert haben.

Grüße
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