Frage zur Regel von L'Hospital

17.03.2015, 11:51

martinio

Frage zur Regel von L'Hospital

Hallo,

die Regel von L'Hospital habe ich grundsätzlich verstanden. Habe allerdings noch eine Frage bei der Anwendung gebrochenrationaler Funktionen bzw. Folgen, denn für GW-Betrachtungen im positivne Unendlichen ist es ja das selbe?

Wir wollen den GW einer Funktion f bestimmen
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3-x-1}{3x^3+x^2+2} \end{eqnarray*}$

Hier darf die Regel von L'Hospital nicht angewendet werden, da wir durch naives Einsetzen auf uneigentliche Audrücke stoßen: $\begin{eqnarray*} \frac{\infty - \infty -1}{\infty + \infty +2} \end{eqnarray*}$ .

Daher müssen wir so umformen, sodass man das Wissen über Ausdrücke z.B. der Form $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0 \end{eqnarray*}$ ausnutzen kann.

Also hier:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3-x-1}{3x^3+x^2+2}= \lim_{x \to \infty} \frac{1-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}}{3+\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x^2}}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

17.03.2015, 11:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von martinio
Hier darf die Regel von L'Hospital nicht angewendet werden

Das stimmt so formuliert nicht: Das gemäß L'Hospital erzielte

$\begin{align*} \lim_{x \to \infty} \frac{x^3-x-1}{3x^3+x^2+2} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2-1}{9x^2+2x} \end{align*}$

ist durchaus richtig, nur lässt der Bruch rechts getrennt nach Zähler und Nenner betrachtet eben noch keine Auswertung zu. Weitere L'Hospital-Anwendungen

$\begin{align*} \ldots = \lim_{x \to \infty} \frac{6x}{18x+2} = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{18} = \frac{1}{3} \end{align*}$

führen zum Ziel, aber es ist natürlich ein "Kanonen auf Spatzen"-Schießen verglichen mit der einfachen Kürzungsmethode aus deinem Beitrag. Augenzwinkern

17.03.2015, 12:09

martinio

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Hm hab ich auch gerade gemerkt. Aber im zähler ist doch ein unbestimmter ausdruck, oder?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3-x-1}{3x^3+x^2+2}=\frac {\lim_{x \to \infty} x^3 -\lim_{x \to \infty} x - \lim_{x \to \infty} 1}{ \lim_{x \to \infty} 3x^3 + \lim_{x \to \infty} x^2+ \lim_{x \to \infty} 2}= \frac{\infty - \infty -1}{\infty + \infty +2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[\infty-\infty\right] \end{eqnarray*}$ kann/darf man doch nicht bestimmen.

17.03.2015, 12:43

klarsoweit

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Formal hast du Recht. Dennoch geht bei genauer Betrachtung der Zähler gegen unendlich, so daß man den unbestimmten Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ erhält.

17.03.2015, 12:43

nane

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Hallo martino,

Zitat:

Original von martinio
Hm hab ich auch gerade gemerkt. Aber im zähler ist doch ein unbestimmter ausdruck, oder?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3-x-1}{3x^3+x^2+2}=\frac {\lim_{x \to \infty} x^3 -\lim_{x \to \infty} x - \lim_{x \to \infty} 1}{ \lim_{x \to \infty} 3x^3 + \lim_{x \to \infty} x^2+ \lim_{x \to \infty} 2}= \frac{\infty - \infty -1}{\infty + \infty +2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[\infty-\infty\right] \end{eqnarray*}$ kann/darf man doch nicht bestimmen.

Ja diese Art Rechnerei ist natürlich Murx!!

Du kannst dir aber merken, dass für die Bestimmung des GW eines Polynomes $\begin{eqnarray*} p(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} a_k\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ das Verhalten der 'höchsten Potenz' verantwortlich ist. D.h. falls $\begin{eqnarray*} a_n<0 \end{eqnarray*}$ ist der Grenzwert $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a_n>0 \end{eqnarray*}$ jedoch undendlich, wenn $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} x\to -\infty \end{eqnarray*}$ gilt entsprechendes.

vlG nane

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