Aufgabe zu normaler Abbildung

17.03.2015, 11:47

boogie

Aufgabe zu normaler Abbildung

Meine Frage:
Hallo!

Folgende Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen:

Es sei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ lineare Abbildung und normal mit $\begin{eqnarray*} \alpha (v) \cdot v = 0 \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie, dass für $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ die Nullabbildung sein muss.

Geben Sie außerdem ein Beispiel für ein $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ an, das nicht die Nullabbildung ist.

Meine Ideen:
So.
Als Beispiel in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ kam ich schnell auf die Drehung um 90°.
Nun versuche ich schon länger, zeigen zu können, wieso die Abbildung in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ die Nullabbildung sein muss, finde aber einfach nicht die entsprechende Eigenschaft der komplexen Zahlen. Auch mit Abbildungsmatrizen habe ich schon rumprobiert, aber irgendwie finde ich nichts. Blöde Blockade.

Hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen, und danke schon für die Mühe des Durchlesens.

Lg boogie

17.03.2015, 12:04

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

bitte überprüfe deine Angabe

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ lineare Abbildung u

und

Zitat:

Zeigen Sie, dass für $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ die Nullabbildung

passt nicht wirklich zusammen.
Was ist Alpha denn: Abbildung oder zahl, beides?

Und da $\begin{eqnarray*} \alpha (v) \end{eqnarray*}$ vermutlich ein Vektor ist, im welchen Sinne ist das Produkt von zwei Vektoren zu deuten?

17.03.2015, 12:06

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zu normaler Abbildung
Wie so häufig wäre es nett, wenn die komplette Aufgabe im originalen Wortlaut gepostet würde. smile

17.03.2015, 12:24

boogie

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey.

Sorry Leute, die erwähnte Stelle soll natürlich heißen:

"dass für $\begin{eqnarray*} v\in \mathbb C \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ die Nullabbildung sein muss"

und mit dem Produkt der beiden Vektoren ist das Standardskalarprodukt gemeint.

Hammer

17.03.2015, 12:28

boogie

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry für Doppelpost:

im Satz drauf hab ich denselben Fehler gemacht..

soll natürlich heißen "[...]für ein $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ [...]"

17.03.2015, 12:29

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Und von wo nach wie geht die lineare Abbildung alpha?
Nach deinem letzten Post von den Komplexen in die Komplexen?

Soll

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \alpha (v) \cdot v = 0 \end{eqnarray*}$ .

für ein v gelten oder für alle?

Ich kannmich klarsoweit's Aufruf nur anschließen.

17.03.2015, 14:24

boogie

Auf diesen Beitrag antworten »

Leider habe ich die Aufgabe nicht mehr vorliegen und musste sie aus dem Kopf niederschreiben. Tut mir leid, dass es offenbar lückenhafter ist, als ich dachte.

$\begin{eqnarray*} \alpha (v) \cdot v = 0 \end{eqnarray*}$ soll für alle v gelten.

Und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ geht im Falle von $\begin{eqnarray*} v\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und im Falle von $\begin{eqnarray*} v\in \mathbb C \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ .

Denke ich zumindest.. unglücklich

17.03.2015, 15:28

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Aus $\begin{eqnarray*} \alpha(v) \cdot v = 0 \end{eqnarray*}$ für alle v aus R oder C folgt sofort, dass $\begin{eqnarray*} \alpha(v) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Und das braucht nicht, dass \alpha(v) auch ein Skalar ist. Es könnte auch ein Vektor sein. Es braucht nicht Linearität oder Normalität. Einzig für v=0 kann man ohne die weiteren Annahmen nichts folgern, weil man die 0 nicht invertieren kann.

So ganz sinnvoll scheint die Aufgabe noch nicht zu sein.

17.03.2015, 16:12

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zu normaler Abbildung

Zitat:

Original von boogie
Geben Sie außerdem ein Beispiel für ein $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ an, das nicht die Nullabbildung ist.

Vielleicht ist ja hier auch $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ gemeint? verwirrt

17.03.2015, 16:34

boogie

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh mann. Ja, wahrscheinlich war es der $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb C ^{3} \end{eqnarray*}$ . Oder hoch 2.

Jedenfalls weiß ich, dass meine Idee der Drehung um 90° für das funktionierende (Nicht-Nullabbildung-)Beispiel in $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ Sinn ergab, und eben zu zeigen war, dass die Abbildung, die diese Gleichung erfüllt, anders als im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ , im $\begin{eqnarray*} \mathbb C ^{3} \end{eqnarray*}$ die Nullabbildung sein müsste.

Wenn das so alles keinen Sinn ergibt, möchte ich jedem hier für seine Beteiligung und Zeit danken, und keinem hier noch weitere stehlen. smile

lg boogie

Neue Frage »

Antworten »

Aufgabe zu normaler Abbildung

Verwandte Themen