Lösungsmenge einer Ungleichung schöner schreiben?

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Samuel1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungsmenge einer Ungleichung schöner schreiben?
Ich suche die Lösungsmenge die aus allen komplexen Zahlen z besteht, die diese Ungleichung erfüllen (r>0):
|(z+1)(z-1)| < r.

Ich habe zwar vereinfach soviel es geht, komme aber nur auf das hier:


Hat irgendwer einen Vorschlag das in eine bessere Form zu schreiben? Sprich zum Beispiel so: Für z >2r und z>10r^2 gilt diese Ungleichung.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösungsmenge einer Ungleichung schöner schreiben?
Ich biete das notationell grausame Big Laugh
 
 
Samuel1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau ist das wenn ich fragen darf??
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Kanonisch wurde die Wurzel elementenweise gezogen, d.h.
.
Samuel1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Und was ist das Br ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

,
der offene Standardball um mit Radius .
Samuel1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe, dass:

Aber was ich nicht verstehe ist was passiert wenn die Wurzel aus einer Menge zieht?
Irgendwie leuchtet mir das nicht ganz ein.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du meine seltsame Notation von Anfang, oder was anschaulich mit dem Ball passiert, sobald man die Wurzel zieht?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Samuel1234567
Ich habe zwar vereinfach soviel es geht, komme aber nur auf das hier:

Hast du dich da nicht verschrieben? Ich denke, es sollte



lauten. verwirrt
Samuel1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Hast du dich da nicht verschrieben? Ich denke, es sollte lauten. verwirrt


Ja habe ich danke.

Jetzt suche ich die r für die die Menge zusammenhängend ist. Zusammenhängend ist ja so definiert, dass man eine Menge nicht aufteilen kann in zwei disjunkte Mengen. Meiner Meinung nach ist für alle r die Menge zusammenhängend, denn egal wie groß ich das r mache, so bleibt auch die kontinierliche Ausbreitung des z selber.

Ist das eine durchschaubare Argumentation?
Samuel1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Hat denn keiner eine Idee wie ich das r ermittle?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Samuel1234567
Zusammenhängend ist ja so definiert, dass man eine Menge nicht aufteilen kann in zwei disjunkte Mengen.

Da fehlt das Attribut "offen" an einigen Stellen... und deiner Argumentation fehlt m.E. jeder Sinn.

Bildlich gesprochen: Für kleine besteht dein aus einer Vereinigung zweier kleiner Umgebungen von 1 sowie -1, und ist als solche nicht zusammenhängend! Mit wachsendem wachsen diese Umgebungen, und treffen dann irgendwann zusammen - erst für diese ist dann zusammenhängend!
Samuel1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Mit wachendem r wachsen diese Umgebungen, und treffen dann irgendwann zusammen - erst für diese r ist dann L zusammenhängend!

Ich kann mir irgendwie nicht vorstellen was du meinst. wenn ich s = z^2 setze, dann sind doch die s in einem Kreis drinne. Diese Menge ist immer zusammenhängend. Wieso sollte |z^2-1|<r nicht für alle r zusammenhängend sein?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, drei Bilder von :

Zuerst : Zwei voneinander getrennte Umgebungen von 1 und -1

.

Und dann auch noch : Nun haben die beiden Umgebungen "Verbindung"

[/quote] .

Schließlich und endlich auch noch ein Bildchen für

.
Samuel1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal. Ich werde mir jetzt mal auf der Zunge zergehen lassen wie diese Mengen überhaupt zustande kommen..
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mal ganz ausführlich, wie man die "Begrenzungskurven" des bzw. der Gebiet(e) von bestimmen kann:


Für in gilt ja







Das kann allenfalls für , also erfüllt sein, also ist dies schon mal notwendig für alle und soll daher im folgenden stets gelten. Weiter gehen die Umformungen mit








1) Für welche ist die untere Grenze in (*) wirksam, d.h. nichtnegativ?

impliziert sowie dort dann .

Für ist das stets erfüllt, hier ist also für alle von dieser unteren Grenze auszugehen.

Für bedeutet es , für kleinere ist die Grenze unwirksam.

Für ist die Grenze generell unwirksam.


2) Für welche ist die obere Grenze in (*) nichtnegativ, d.h. existieren überhaupt -Lösungen?

Das dazu notwendige ist (sofern der Wurzelausdruck überhaupt gültig ist) für stets erfüllt; für muss zusätzlich gelten, also sowie gelten.

Für ist das für alle erfüllt.

Für ist das für alle erfüllt.



Zusammenfassend gelten damit die für die Grafiken brauchbaren Darstellungen

für

für

für
Samuel1234567 Auf diesen Beitrag antworten »


ich denke das sollte lauten:
Samuel1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Achh wieder falsch!!
>Das ganze kommt ja aus |z^2 -1| < r
Dh:
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

siehe auch hier
Samuel1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
siehe auch...


HAL hat das sehr gut hergeleitet mit den Grenzen. Ich möchte das auch so machen, jedoch hänge ich jetzt aufgrund des Fehlers. Ich komme nur mehr auf die Bedingung:


Außerdem scheint es mir fremd wieso solche Kurven zustande kommen. Wie kann ich generell herausfinden wie sich die Menge mit dem Radius verändert? Ich kenne ja nur die Ungleichung |z^2-1|<r
Mehr habe ich ja nicht gegeben.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
siehe auch hier

Danke für den Link - kenn mich mit den Spezialfällen solcher Quartik-Kurven (oder wie auch immer das richtig heißt) nicht sonderlich gut aus. Augenzwinkern


@Samuel1234567

Ich wart erstmal ab, bis du einen wirklichen Fehler in meinen Umformungen oben findest - die "erfundenen" kann ich nicht ernst nehmen. Augenzwinkern
Samuel1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL: Wirklich hilfreich ist deine Antwort nicht. Wenn ich meine Ungleichung nachrechne stimmt sie. Willst du das etwa leugnen? Es können unmöglich beide Ungleichungen stimmen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich "leugne" nicht, sondern sage klipp und klar, dass das hier

Zitat:
Original von Samuel1234567
ich denke das sollte lauten:

eine falsche Umformung der L-Ungleichung ist.


Falls du aber



und



meinen solltest, dann irrst du dich: Diese beiden Ungleichungen sind sehr wohl äquivalent - soviel zu deiner "Unmöglichkeit".


P.S.: Mäßige mal deinen Ton, wenn du hier weiter Hilfe erwartest. unglücklich

-------------------------------------------------------------------------


Die Umformung nach oben war wohl nicht die beste Wahl - günstiger ist die Umformung nach , macht weniger Ärger mit Fallunterscheidungen:







Dann sind nur die von Belang, für die die rechte Seite positiv ist, also und weiter umgeformt zu , d.h. . Jetzt hat man nur mehr die folgenden zwei Fälle zu betrachten:


1) :

zerfällt in zwei nicht zusammenhängende Teilgebiete mit sowie und jeweils .


2)

ist ein zusammenhängendes Gebiet mit und .
Samuel1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gebe auf. Löscht den Thread. ich mein was solln diese ganzen Ungleichungen? Ich sehe nur mehr Gleichungen. Ich frag mich in dieser Stelle wirklich was das bringt.
Ich werd die Lösung irgendwo abschreiben...

Ich wusste das mit Mathe und Foren klappt sowie so nie. Zumindest nicht für schwierige dinge..

Was solls..
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Schade, dann war mein letztes Edit umsonst. Na egal, da du weder Durchhaltevermögen noch den Willen hast, auf die Ausführungen anderer einzugehen, ist das wohl die beste Lösung.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Der User kann sich ja erkundigen, ob das diskutierte Angebot schon verfügbar ist.
Samuel1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Hal, zu deinen Bildern habe ich noch einiges nicht ganz nachvollziehen können.Wieso hat beim ersten Bild die Menge auf der Imaginären Achse keine Elemente? Müssten nicht auch dort einige Elemente sein?

Ich habe nämlich einen anderen Weg gefunden das ganze anzugehen. Und zwar so indem ich parametrisiert habe:


Wobei K eine Abschwächung ist.

Dann habe ich mir das ganze aufgezeichnet und habe festgestellt, dass es an der imaginären Achse auch einige Punkte gibt.
Wenn du mir nicht nachfolgen kannst führe ich das nocheinmal genauer aus.

Lg
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Samuel1234567
Wieso hat beim ersten Bild die Menge auf der Imaginären Achse keine Elemente? Müssten nicht auch dort einige Elemente sein?

Dann nenne mir doch mal bitte eine rein imaginäre Zahl , welche die Ungleichung erfüllt.
Samuel1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab ein Beispiel, das offenbar die Ungleichung |z^2 - 1| < 0.5 erfüllt.
Samuel1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Interessanterweise funktioniert es nicht wenn ich z1 oder z2 wieder in die Ungleichung einsetze. Aber wieso nicht? Ich habe doch bei der Rechnung keinen Fehler gemacht. Wie kann es sein, dass dann die Ungleichung nicht mehr stimmt?
Irgendwo muss da ein Fehler passiert sein. Aber wo?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Beispiel ist Unfug: Für deine "Lösungen" gilt und somit für beide .

Generell gilt für alle rein imaginären , dass reell mit ist, und somit und folglich . Dein Beharren darauf, dass es solche Lösungen der Ungleichung |z^2-1|<r im Fall gibt, ist also nur sehr schwer zu verstehen. unglücklich
Samuel1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß, dass mein Beispiel unfug ist, aber ich verstehe nicht wieso?
Ich habe doch aus der Gleichung |y-1| < 0.5 durch das Wurzelziehen die beiden Lösungen z1 und z2 ermittelt. Diese zwei Lösungen müssten doch in dieser Menge liegen und die Ungleichungen erfüllen.

Wie kann es sein, dass sie diese Ungleichung nich erfüllen? Ich habe alles richtig gerechnet, und doch stimmt es nicht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Samuel1234567
Ich habe alles richtig gerechnet

Hast du nicht: Dein sogenanntes Wurzelziehen hast du vollkommen falsch durchgeführt. Schreib mal detailliert die Schritte auf, dann können wir es benennen. Und beachte bitte, dass wir uns im Komplexen befinden, eine Betragsauflösung ist also nicht wie im Reellen einfach mit möglich. unglücklich

Konkret: Wie kommst du von auf ?
Samuel1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Konkret: Wie kommst du von |y&#8722;1|<0.5 auf y=&#8722;0.5 ?

Ich habe da ehrlich gesagt einen absoluten schwachsinn gerechnet.
Eigentlich ist nämlich y so:



wobei t von 0 bis 1 geht.

Jetzt bleibt nur noch die Frage wie ich die Wurzel aus y ziehe ohne dass es zu kompliziert wird. Denn danach wird alles klar.
Samuel1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

So ich erhalte somit die Wurzel von y zu:



Wobei das Argument so ist:


wobei man zwischen Re(y) > 0 und kleiner 0 unterscheiden muss beim Argument.

Aber irgendwie hilft das nicht weiter. Ich wüsste nämlich nicht wie ich auf einen Blick erkennen könnte, dass die Menge für r > 1 zusammenhängend ist.

HAL hast du eine Idee wie man das anstellen könnte ohne die vielen Ungleichungen rechen müsste?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich steht seit 1.04.2015, 19:10 da, wie man die Lösungen darstellen kann, hier nochmal nach vorn geholt:

Zitat:
Original von HAL 9000






Dann sind nur die von Belang, für die die rechte Seite positiv ist, also und weiter umgeformt zu , d.h. . Jetzt hat man nur mehr die folgenden zwei Fälle zu betrachten:


1) :

zerfällt in zwei nicht zusammenhängende Teilgebiete mit sowie und jeweils .


2)

ist ein zusammenhängendes Gebiet mit und .

Anscheinend hast du das allerdings für einen Aprilscherz gehalten, oder bist der unerschütterlichen Meinung, dass ich das absichtlich zu kompliziert dargestellt habe, d.h., dass alles viel, viel einfacher geht. Da kann ich nur sagen "Dünnbrettbohren wird hier nichts". unglücklich
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