Operatornorm, Abschätzung

17.03.2015, 17:35	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Operatornorm, Abschätzung Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} A:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung. Bezüglich der kanonischen Basen wird A durch eine $\begin{eqnarray} m \times n \end{eqnarray}$ -Matrix $\begin{eqnarray} (a_{ik})_{1\le i\le m,1\le k \le n} \in M(m\times n, \mathbb{R}) \end{eqnarray}$ gegeben. Meine Frage ist warum gilt die Abschätzung $\begin{eqnarray} max_{ik} \|a_{ik}\| \le \|\|A\|\|_{op} \end{eqnarray}$ WIr haben wie Operatornorm definiert als: $\begin{eqnarray} \|\|A\|\|_{op} := sup_{\|\|x\|\|_{\mathbb{R}^n}}\{\|\|Ax\|\|_{\mathbb{R}^m}\} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ein Ansatz war $\begin{eqnarray} \|\|A(\frac{x}{\|\|x\|\|_{\mathbb{R}^n}})\|\|_{\mathbb{R}^m} \le \|\|A\|\|_{op} \end{eqnarray}$ aber das war nicht zielführend sowie die anderen Versuche. Über Hilfe würde ich mich freuen, wie die Abschätzung zustande kommt.
17.03.2015, 17:37	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Operatornorm, Abschätzung Es reicht zu bemerken, dass $\begin{eqnarray} \\| Ax \\|_{\mathbb R^m } = \sup_{y \in \mathbb R^m, \\| y \\|_{\mathbb R^m} \leq 1 } y^T A x \end{eqnarray}$ ist.
18.03.2015, 15:20	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, aber wie kommst du auf diese Aussage und warum führt sie zu unserer Abschätzung? Ich sehe das leider noch nicht. Es is ja z.b mit der euklischen Norm: $\begin{eqnarray} \|\|Ax \|\|_{\mathbb {R}^m } =\|\| (\sum_{l=1}^n a_{1l} x_l,...,\sum_{l=1}^m a_{ml} x_l )^T \|\|_{\mathbb{R}_m} = \sqrt{ (\sum_{l=1}^n a_{1l} x_l)^2 + ...+(\sum_{l=1}^m a_{ml} x_l )^2} \end{eqnarray}$ Liebe Grüße
18.03.2015, 15:34	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt natürlich auch $\begin{eqnarray} \\| z \\|_{\mathbb R^m} = \sup_{y \in \mathbb R^m, \\| y \\|_{\mathbb R^m} \leq 1 } y^T z = \langle y, z \rangle_{\mathbb R^m} \end{eqnarray}$ . Der Beweis davon ist nicht sonderlich schwer. Um $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ zu zeigen, reicht es $\begin{eqnarray} y = z/\\|z\\| \end{eqnarray}$ zu wählen, und die andere Ungleichung folgt aus Cauchy-Schwarz. Ganz allgemein kennt man es unter dem Namen "Rieszscher Darstellungssatz". Er besagt, dass jeder Hilbertraum isometrisch isomorph zu seinem Dualraum ist. Jedenfalls hast du dann $\begin{eqnarray} \\| A \\|_{\text{op}} = \sup_{x,y \in \mathbb R^m, \\| x \\|, \\|y\\| \leq 1} y^T A x \end{eqnarray}$ . Dann lohnt es sich anzuschauen, was $\begin{eqnarray} e_j^T A e_i \end{eqnarray}$ für die Einheitsvektoren ist.
18.03.2015, 16:43	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Komisch, dass wir zu der Richtung nur ist trivial hingeschrieben haben in der Vorlesung? $\begin{eqnarray} \\| z \\|_{\mathbb R^m} = \sup_{y \in \mathbb R^m, \\| y \\|_{\mathbb R^m} \leq 1 } y^T z = \langle y, z \rangle_{\mathbb R^m} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \ge \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y^T z = <y,z> \le \|<y,z>\|\le \|\|y\|\|_{\mathbb{R}^m} \|\|z\|\|_{\mathbb{R}^m} \le \|\|z\|\|_{\mathbb{R}^m} \end{eqnarray}$ Gilt natürlich auch insebsondere für sup über alle $\begin{eqnarray} y \in \mathbb{R}^m, \|\|y\|\|_{\mathbb{R}^m} \le 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \le \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} s= \frac{z}{\|\|z\|\|_{\mathbb{R}^m}}, \|\|s\|\|_{\mathbb{R}^m} =1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} sup_{y\in \mathbb{R}^m,\|\|y\|\|_{\mathbb{R}^m}\le 1} y^T z \ge s^T z = \frac{<z,z>}{\|\|z\|\|_{\mathbb{R}^m}} \end{eqnarray}$ Hier komme ich nun nicht weiter bei dem Schritt $\begin{eqnarray} \frac{<z,z>}{\|\|z\|\|_{\mathbb{R}^m}} \ge \|\|z\|\|_{\mathbb{R}^m} \end{eqnarray}$ Bei der euklidischen Norm ist hier sogar ein = aber sonst, ich weiß ja nicht wie die Norm aussieht und das alle Normen in $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ äquivalent sind hatten wir noch nicht zu dem Zeitpunkt des Beispiels.
18.03.2015, 16:51	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bist doch den ganzen Thread (meiner Meinung nach zu Recht) von der euklidischen Norm ausgegangen, warum nun die Zweifel, ob $\begin{eqnarray} \\| \cdot \\|_{\mathbb R^m} \end{eqnarray}$ die euklidische ist? Die Abschätzung kann auch nicht stimmen, wenn man sich einfach irgendeine Norm auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^m \end{eqnarray}$ nimmt. Sieht man einfach dadurch, dass $\begin{eqnarray} \lambda \\| \cdot \\| \end{eqnarray}$ für alle \lambda > 0 eine Norm ist. Und mit lambda klein genug, wird die Abschätzung murks. Und wenn man die Ungleichung nur bis auf eine Konstante haben will, ist es ganz leicht, da links die Unendlichnorm von A und rechts die Operatornorm von A steht. Damit sind diese natürlich äquivalent. Wenn die Konstante 1 sein soll, sehe ich momentan keinen kürzeren Weg.
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18.03.2015, 18:39	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Hilfe! Liebe Grüße

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