Maximumprinzip, positive Formulierung

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17.03.2015, 18:10	Kulka	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximumprinzip, positive Formulierung Meine Frage: Hallo, ich habe eine Frage zum Maximumprinzip (positive Formulierung). Also wenn G in C ein beschränktes Gebiet ist, und $\begin{eqnarray} f: \bar{G} \rightarrow \mathbb C \end{eqnarray}$ , f stetig. $\begin{eqnarray} \bar{G} \end{eqnarray}$ holomorph in G. Dann nimmt \|f\| sein Maximum auf dem Rand an. Meine Ideen: Und nun der Beweis: G ist beschränkt, also ist $\begin{eqnarray} \bar{G} = G + \partial G \end{eqnarray}$ kompakt. Also das Maximum muss irgendwo in $\begin{eqnarray} \bar{G} \end{eqnarray}$ sein. Wegen der negativen Formulierung kann das Maximum nicht im Inneren von G liegen. Warum nicht?
17.03.2015, 18:32	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Abend, Weil dann auch $\begin{eqnarray} f\big\vert_G \end{eqnarray}$ dort ein Maximum hätte. Dann ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ konstant auf $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ und wegen Stetigkeit dann sogar konstant auf $\begin{eqnarray} \overline{G} \end{eqnarray}$ , also wird in dem Fall sogar überall das Maximum angenommen, auch auf dem Rand.
17.03.2015, 18:44	Kulka	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute, dass ich die negative Formulierung doch nicht verstehe.... Könntest du mir bitte diese erklären....?
17.03.2015, 18:55	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, sage mir doch einmal, was du darunter verstehst. Ich kenne es so: Sei $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ Gebiet und $\begin{eqnarray} f:G\to\mathbb C \end{eqnarray}$ holomorph. Falls $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nicht konstant ist, hat $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ kein lokales Maximum auf $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ . Wenn du die selbe Formulierung kennst, so enthält doch mein obiger Beitrag genau diese Aussage (in Form der Kontraposition). Denn wenn $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ein lokales Maximum auf $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ hat, dann muss also $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ konstant sein. Ist dir daran etwas unklar? Wenn ja, was?
17.03.2015, 19:10	Kulka	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, nochmal, um sicher zu sein: $\begin{eqnarray} \bar{G} = G + \partial G \end{eqnarray}$ Ist das Gebiet mit Rand G ist das Innere im Gebiet $\begin{eqnarray} \partial G \end{eqnarray}$ ist nur der Rand....
17.03.2015, 19:19	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Dabei ist natürlich auch $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ einfach das Gebiet selbst. Bei einer offenen Menge ist Inneres und Alles das gleiche.
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17.03.2015, 19:26	Kulka	Auf diesen Beitrag antworten »
Und bei der negativen Formulierung berücksichtigt man eine offene Menge`? Weil in der Definition erwähnt man gar nicht den Rand...
17.03.2015, 19:27	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Gebiet ist immer offen. Das ist so definiert. Wenn du nicht von einem Gebiet ausgehst, dann formuliere doch bitte einmal deine Version dieser Formulierung.
17.03.2015, 19:31	Kulka	Auf diesen Beitrag antworten »
Gebiet ist immer offen..... ups. wie konnte ich die wichtige Eigenschaft vergessen. OK, aber nun ist alles klar. Danke
17.03.2015, 19:48	Kulka	Auf diesen Beitrag antworten »
also in der negativen Formulierung gibt es zwei Fälle. 1. Wenn das Maximum $\begin{eqnarray} \bar{G} \end{eqnarray}$ liegt, , dann ist f=const. 2. Das Maximum liegt nur auf dem Rand und f ist nicht const. ja?
17.03.2015, 20:07	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ist 1. zu verstehen? Warum soll $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ konstant sein? Auf $\begin{eqnarray} \overline G \end{eqnarray}$ nimmt $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ doch sicher ein Maximum an, sofern $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ beschränkt ist. Vielleicht liegt es auch an einem Schreibfehler, so jedenfalls werde ich nicht schlau daraus.
17.03.2015, 20:21	Kulka	Auf diesen Beitrag antworten »
Also: Entweder 1. f= const. in $\begin{eqnarray} \bar{G} \end{eqnarray}$ oder 2. Das Maximum liegt nur auf dem Rand und f ist nicht const.
17.03.2015, 20:42	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist richtig.

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