Folge (an) hat Grenzwert (a) -> Folge (|an|) hat Grenzwert (|a|)??

17.03.2015, 18:21

Ephendy

Folge (an) hat Grenzwert (a) -> Folge (|an|) hat Grenzwert (|a|)??

Meine Frage:
Hallo,
ich bin auf der Suche nach einem allgemeinen Beweis dafür, dass wenn eine Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ einen Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ hat, der Betrag dieser Folge $\begin{eqnarray*} |a_n| \end{eqnarray*}$ auch gegen den Wert $\begin{eqnarray*} |a| \end{eqnarray*}$ konvergiert. (wobei n gegen Unendlich geht)
Jegliche Ideen sind willkommen, ich danke im Voraus!

Meine Ideen:
Was ich mir bisher überlegt habe, ist, dass diese Annahme für Nullfolgen trivialerweise gilt, da z.B. sich $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{n} \end{eqnarray*}$ nähert, egal ob der Bruch positiv oder negativ ist. Bei negativem Bruch wird die Zahl immer größer, je größer das n, und nähert sich so der 0, im Positiven wird die Zahl immer kleiner und nähert sich der 0.

Analog gilt dasselbe auch für die uneigentlichen Grenzwerte $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ . Und eigentlich auch für alle anderen Folgen mit verschiedensten Grezwerten, oder nicht?

Positive, konvergente Folgen haben positive Folgenglieder und einen positiven Grenzwert;
negative, konvergente Folgen haben negative Folgenglieder und einen negativen Grenzwert;

Wenn ich nun den Betrag der negativen Folgenglieder nehme ist es doch selbstverständlich, dass sie sich alle dem Betrag des negativen Grenzwertes nähern werden, oder nicht?
Doch wie soll ich das beweisen?

17.03.2015, 18:25

Guppi12

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Guten Abend,

Zitat:

Doch wie soll ich das beweisen?

Bei solch grundlegenden Sachen ist die Antwort meistens: Direkt mit der Definition von Konvergenz.

Was ist per Definition für $\begin{eqnarray*} |a_n| \to |a| \end{eqnarray*}$ zu zeigen?
Und was ist per Definition durch $\begin{eqnarray*} a_n \to a \end{eqnarray*}$ gegeben?

Du arbeitest einfach die erste Quantorenkette von links nach rechts ab und verwendest dabei die zweite.

17.03.2015, 19:06

Ephendy

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Danke recht herzlich für die schnelle Antwort!-
Mir jedoch unklar was Sie mit

Zitat:

Du arbeitest einfach die erste Quantorenkette von links nach rechts ab und verwendest dabei die zweite.

meinen?

Die Definiton für Grenzwerte ist folgende:
$\begin{eqnarray*} \exists a\quad\forall\varepsilon>0\quad\exists N(\varepsilon)\quad\forall n\geq N(\varepsilon):\quad\left|a_n-a\right|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

Soll ich jetzt in dieser Definition statt $\begin{eqnarray*} |a_n - a| < \epsilon \end{eqnarray*}$ nun $\begin{eqnarray*} ||a_n| - |a|| < \epsilon \end{eqnarray*}$ einsetzen und folgendes sagen?:
Falls $\begin{eqnarray*} |a_n| \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} |a| \end{eqnarray*}$ konvergiert, so muss es zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ von |a| einen Index $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ geben, sodass für alle Indizes $\begin{eqnarray*} n >= N \end{eqnarray*}$ der Abstand von $\begin{eqnarray*} |a_n| \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} |a| \end{eqnarray*}$ kleiner wird.

Ist das ein Beweis?

17.03.2015, 19:19

Guppi12

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Zitat:

Soll ich jetzt in dieser Definition statt $\begin{eqnarray*} |a_n - a| < \epsilon \end{eqnarray*}$ nun $\begin{eqnarray*} ||a_n| - |a|| < \epsilon \end{eqnarray*}$ einsetzen

So ungefähr.

Die zu zeigende Quantorenkette wäre dann

$\begin{eqnarray*} \forall\varepsilon>0\quad\exists N(\varepsilon)\quad\forall n\geq N(\varepsilon):\quad\left||a_n|-|a|\right|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Das $\begin{eqnarray*} \exists a \end{eqnarray*}$ am Anfang brauchst du nicht. $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist ja schon eingeführt.

Zur Verfügung hast du

$\begin{eqnarray*} \quad\forall\varepsilon>0\quad\exists N(\varepsilon)\quad\forall n\geq N(\varepsilon):\quad\left|a_n-a\right|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Ist das ein Beweis?

Leider nicht. Das Zeigen von Quantorenketten ist eigentlich eine elementare Sache. Du gehst einfach die zu zeigende Quantorenkette von links nach rechts durch und überall, wo ein $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ steht, musst du dir ein solches Element beliebig hernehmen, überall wo ein $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ steht musst du ein konkretes solches Element angeben und am Ende muss die Aussage der Quantorenkette stimmen.

Es geht also so los:
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig. Setze nun $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ als ... Sei dann $\begin{eqnarray*} n\geq N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann gilt $\begin{eqnarray*} ||a_n|-|a||<\epsilon \end{eqnarray*}$ , weil ...

Alles klar? Dabei kannst du jederzeit auf die zur Verfügung stehende Quantorenkette zurückgreifen und natürlich auch zwischenzeitlich noch mehr Text einfügen, um klarzumachen, wie und warum etwas auf bestimmte Art gewählt werden kann.

P.S. Es ist üblich, sich hier zu duzen Augenzwinkern

17.03.2015, 20:30

Ephendy

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Hey, danke nochmal!
Leider steh ich voll auf der Leitung, mir ist nicht klar wie und wo ich ansetzen soll für den Beweis.
Mir ist klar, dass das $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ <= $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ sein muss, soll ich hier ein konkretes $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ suchen?

17.03.2015, 20:45

Guppi12

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Zitat:

Mir ist klar, dass das $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ <= $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ sein muss

Wie soll das denn gehen? Im Allgemeinen wird $\begin{eqnarray*} \epsilon < 1 \end{eqnarray*}$ gelten. Hingegen ist $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ natürlich.

Zitat:

mir ist nicht klar wie und wo ich ansetzen soll für den Beweis.

Hab dir doch ein Grundgerüst gegeben. Fang an mit: Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig.
Du hast jetzt ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ und folgende Quantorenkette:

$\begin{eqnarray*} \quad\forall\varepsilon>0\quad\exists N(\varepsilon)\quad\forall n\geq N(\varepsilon):\quad\left|a_n-a\right|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

(also die ist wahr nach Voraussetzung). Was springt einem denn da förmlich ins Auge ? Augenzwinkern

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Folge (an) hat Grenzwert (a) -> Folge (|an|) hat Grenzwert (|a|)??

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