Erwartungswert

17.03.2015, 20:30

Gast357

Erwartungswert

Meine Frage:
Hallo Leute,

für den Erwartungswert gibt es verschiedene Formeln. Zum einen die allgemeine Formel
$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}X=\int_{\Omega} \! X(\omega) \, d\mathbb{P}(\omega) \end{eqnarray*}$
und noch die für eine diskrete Verteilung
$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}X=\sum\limits_{i\in I} x_{i}\mathbb{P}(X=x_{i}) \end{eqnarray*}$
und eine stetige
$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}X=\int_{-\infty}^{\infty} \! xf(x) \, dx \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ die Dichte bzgl der Verteilung ist.

Meine Ideen:
Mein großes Problem nun ist, wie ich von der allg. Formel auf die Formel für die diskrete und die stetige komme. Gibt es da einen Weg oder ist das jeweils definitionssache. Wäre um jeden Rat dankbar, da ich leider gar kein Plan habe.

17.03.2015, 21:10

1nstinct

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RE: Erwartungswert
Hi,

Es gibt eben verschiedene Wahrscheinlichkeitsmaße, diskrete und stetige.

Zitat:

Mein großes Problem nun ist, wie ich von der allg. Formel auf die Formel für die diskrete und die stetige komme.

Bei der "allgemeinen" Formel wird nach dem entsprechenden Maß integriert und das ist eben disrekt oder stetig.

Deine letzte "Formel" gilt nur, wenn eine Lebesgue-Dichte existiert (bei stetigen Vert. ist das zwar meist der Fall, aber eben nicht immer !!).
Dann ist es das "normale" Lebesgue-Maß, nach dem integriert wird.

Könntest du mal eine Aufgabe posten mit der du Probleme hast?

17.03.2015, 21:14

Gast357

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RE: Erwartungswert
Ich habe keine direkte Aufgabe, sondern mich nur gefragt, ob es Umformungen gibt, um von der allgemeinen Formel auf die diskrete und die stetige zu kommen. Gibt es das? Also kann ich die allgemeine Formel so umformen, dass ich die Formel für den Erwartungswert der diskreten bzw. stetigen Verteilung rausbekomme?

17.03.2015, 21:29

Gast357

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RE: Erwartungswert
so folgt doch

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}X=\int_{\Omega} \! X(\omega) \, d\mathbb{P}(\omega)=\int_{\mathbb{R}} xd\mathbb{P}_{X}(x)=\int_{\mathbb{R}} xdF_{X}(x)=\int_{\mathbb{R}} xf(x)d(x) \end{eqnarray*}$ oder nicht?

Gibt es solch eine Umformung auch für den diskreten Fall?

17.03.2015, 21:41

Gast357

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RE: Erwartungswert
wobei hier eben gilt $\begin{eqnarray*} X: \Omega \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \omega \mapsto x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}_{X} \end{eqnarray*}$ Maß auf $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R},\mathcal{B}) \end{eqnarray*}$

17.03.2015, 22:42

HAL 9000

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Der diskrete Fall ist dadurch gekennzeichnet, dass $\begin{align*} X \end{align*}$ höchstens abzählbar viele Werte annehmen kann, die nennen wir $\begin{align*} x_1,x_2,\ldots \end{align*}$ . Mit den Ereignissen

$\begin{align*} A_i = \left[X=x_i\right] := \left\{ \omega\in\Omega \bigm| X(\omega)=x_i \right\} \end{align*}$

haben wir dann eine disjunkte Zerlegung $\begin{align*} \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i \end{align*}$ des W-Raumes $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ vorliegen. Damit folgt

$\begin{align*} \mathbb{E}X = \int\limits_{\Omega} X(\omega) ~ \dd\mathbb{P}(\omega) = \sum_{i=1}^{\infty} \int\limits_{A_i} X(\omega) ~ \dd\mathbb{P}(\omega) = \sum_{i=1}^{\infty} \int\limits_{A_i} x_i ~ \dd\mathbb{P}(\omega) = \sum_{i=1}^{\infty} x_i\cdot P(A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} x_i\cdot P(X=x_i) \end{align*}$

17.03.2015, 23:33

Gast357

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wow super. Genau danach habe ich gesucht und bin eben einfach nicht drauf gekommen. Danke! Wink

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