Folge von Testfunktionen

17.03.2015, 21:44	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Folge von Testfunktionen Sei $\begin{eqnarray} B_1(0) := \{ x \in \mathbb R^d : \\|x \\| < 1 \} \end{eqnarray}$ die Einheitskugel im $\begin{eqnarray} \mathbb R^d. \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} d \geq 3 \end{eqnarray}$ kann ich folgende Aussage zeigen: Für $\begin{eqnarray} \varphi \in C_0^\infty (B_1(0)) \end{eqnarray}$ existieren $\begin{eqnarray} \varphi_n \in C_0^\infty (B_1(0) \setminus \{0\}) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \varphi_n \to \varphi \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} L^2(B_1(0)) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \partial_j \varphi_n \to \partial_j\varphi \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} L^2(B_1(0)) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} j=1,\dots,d. \end{eqnarray}$ Der Beweis für $\begin{eqnarray} d \geq 3 \end{eqnarray}$ ist im "Arendt, Urban - Partielle Differenzialgleichungen" auf Seite 181 zu finden: Man wähle $\begin{eqnarray} f \in C^\infty(\mathbb R) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(r) = 1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} r \geq 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(r)=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} r \leq \frac 1 2 \end{eqnarray}$ (Lemma von Urysohn) und setze $\begin{eqnarray} \varphi_n(x) := f(n \\|x\\|) \varphi(x). \end{eqnarray}$ Es ist $\begin{eqnarray} \varphi_n(x) = 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \\| x \\| \leq \frac{1}{2n} \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} \varphi_n \in C_0^\infty (B_1(0) \setminus \{0\}). \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} \varphi_n(x) = \varphi(x) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \\| x \\| \geq \frac 1 n, \end{eqnarray}$ konvergiert $\begin{eqnarray} \varphi_n \end{eqnarray}$ nach dem Satz von Lebesgue gegen $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} L^2(B_1(0)). \end{eqnarray}$ Laut Produktregel gilt $\begin{eqnarray} \partial_j \varphi_n(x) = f(n \\|x\\|) \partial_j \varphi(x) + n f'(n \\|x \\|) \frac{x_j}{ \\| x \\| } \varphi(x) \end{eqnarray}$ und der erste Term konvergiert in $\begin{eqnarray} L^2(B_1(0)) \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} \partial_j \varphi \end{eqnarray}$ wegen des Satzes von Lebesgue. Der zweite Term strebt in $\begin{eqnarray} L^2(B_1(0)) \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ , da mit $\begin{eqnarray} \Phi(x) = n x, \, \Phi'(x) = n I_d \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \det \Phi'(x) = n^d \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n^2 \int_{B_1(0)} \! f'(n \\| x \\|)^2 \, \mathrm dx = n^2 \int_{ \\|x \\| < \frac 1 n } \! f'(n \\| x \\|)^2 \, \mathrm dx = n^2 \int_{ \\|y \\| < 1 } \! f'( \\| y \\|)^2 \, \frac{\mathrm dy}{n^d} = \frac{1}{n^{d-2}} \int_{ \\|y \\| < 1 } \! f'( \\| y \\|)^2 \, \mathrm dy \end{eqnarray}$ folgt. Für $\begin{eqnarray} d=2 \end{eqnarray}$ funktioniert obiges leider nicht, hätte jemand eine Idee, wie man sich eine solche Folge konstruiert? Vielen Dank.
17.03.2015, 21:55	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Bist du dir denn sicher, dass es die Folge gibt? Nach den Sobolev Einbettungen konvergiert $\begin{eqnarray} \varphi_n \to \varphi \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} L^p \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} 1 \leq p < \infty \end{eqnarray}$ . Die Einbettung läuft knapp daran vorbei uniform zu sein, und damit alle phi mit $\begin{eqnarray} \varphi(0) \neq 0 \end{eqnarray}$ als Gegenbeispiel zu liefern. In 1D hat man diese eben, und da ist die Aussage auch falsch. Edit: Interessant wäre folgendes: Als phi eine Funktion, die 1 im inneren 1/2 Ball ist. Dann wollen wir effektiv eine konstante Funktion approximieren. Edit 2: Wenn man zeigen kann, dass radialsymmetrische Funktionen immer besser optimieren als ihre nicht-radialsymmetrischen Kollegen, so kann man das ganze in 1D explizit auswerten und ich würde tippen zeigen, dass man es nicht approximieren kann.
19.03.2015, 23:03	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort! Also zusammengefasst: Für $\begin{eqnarray} d \geq 3 \end{eqnarray}$ stimmt die Aussage und für $\begin{eqnarray} d=1 \end{eqnarray}$ ist die Aussage falsch. Ich weiß leider nicht, ob es für $\begin{eqnarray} d=2 \end{eqnarray}$ stimmt. Zu Edits: Hm, das wäre auch für $\begin{eqnarray} d=3 \end{eqnarray}$ ähnlich und dort stimmt die Aussage.
19.03.2015, 23:31	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider versagt wenigstens bei mir die Anschauung, weil es doch sehr quantitativ ist wie sich die Normen verhalten. In 1D kann man recht schön sehen wie es schief geht. Man nehme phi als konstante 1 Funktion (es reicht wenn es lokal schief geht, wie schon angesprochen). Und die approximierende Funktion sogar in einem größeren Raum, nämlich Lipschitz-Funktionen $\begin{eqnarray} \varphi_k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \varphi_k(0) = 0 \end{eqnarray}$ . D.h. wir verzichten auf den kompakten Träger in der Mitte und auf recht viel Regularität. Nun ist das Beste was man versuchen kann (leider kann ich das nicht sauber belegen), linear hochzugehen. Also $\begin{eqnarray} \varphi_k(x) = \begin{cases} 1 & \|x\| > \delta_k \\ \frac{ \|x\|} {\delta_k} & - \delta_k < x < \delta_k \end{cases} \end{eqnarray}$ , wobei \delta_k eine Nullfolge ist. Wenigstens sollten gute Approximationen von phi so aussehen. Wenn man jetzt $\begin{eqnarray} \varphi_k'(x) = \frac {sgn(x)} {\delta_k} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} (-\delta_k, \delta_k) \end{eqnarray}$ betrachtet, kann man es darauf integrieren und bekommt $\begin{eqnarray} \\|\varphi'\\|_{L^2}^2 \geq \int_{ (-\delta_k, \delta_k)} \frac 1 {(\delta_k)^2} = \frac 2 {\delta_k} \to \infty \end{eqnarray}$ . D.h. wächst man schnell, so explodiert die Ableitung. Aber man muss irgendwo wachsen um auf die 1 zu kommen. Da fällt mir ein: Der Mittelwertsatz sollte auch eine allgemeine Approximation auszuschließen. Man muss dann aber quantitativ zeigen, dass entweder die Menge, auf der die Ableitung gross ist selbst gross ist und damit man die obere Abschätzung bekommt, oder alternativ wenn die Ableitung überall klein ist die L^2 Approximation der Funktion selbst schief geht. Zu den Bemerkung der Edits: Bei Polarkoordinaten bekommt man immer eine Potenz von r, wobei der Exponent von der Raumdimension abhängt! Die Potenz wird eben ab Raumdimension 3 aufwärts nett genug sein, und darunter (so tippe ich wenigstens) nicht. Für 1D habe ich es ja gerade begründet, auch wenn nicht ganz sauber. Also mein Verdacht: In 1D explodiert die Norm der Ableitung, in 2D ist sie beschränkt und aufwärts geht sie gegen 0. Leider habe ich echte Probleme zu zeigen, dass jede approximierende Funktion in 2D sich so verhält. Edit: Man könnte die analoge Funktion in R^2 definieren. Diese liefert tatsächlich eine in L^2 beschränkte Ableitung. Die Frage ist bloss wie man sauber argumentiert, dass es keine besseren gibt. Ich weiß, dass Lieb/Loss in "Analysis" viele Integralungleichungen dadurch zeigen, dass Radialsymmetrie immer besser ist. Man könnte sich mal angucken wie sie es machen und ob man es hier übertragen kann.

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