Zerlegung in Produktform

17.03.2015, 23:18	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Zerlegung in Produktform Das könnte man zwar auch unter Algebra machen, aber da es auf dem Übungsblatt zur Numerik steht, schreib ich es mal hier. Wenn es nicht passt, bitte verschieben. Berechnen Sie die Funktionswerte von $\begin{eqnarray} f(x) = x^4 - 2x^3 + 4 \end{eqnarray}$ an den Stellen x = 4 und x = -2 y (x = 4) = 132 y (x = -2) = 4 Zerlegen Sie $\begin{eqnarray} g(x) = x^3 - 2x^2 + 2x - 1 \end{eqnarray}$ in die Produktform. Ich hab eine Nullstelle geraten, die ist bei x = 1 Dann Polynomdivision, daraus ergibt sich $\begin{eqnarray} x^3 - 2x^2 + 2x - 1 : (x - 1) = x^2 - x + 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2 - x + 1 \end{eqnarray}$ hat im reellen aber keine Lösung. Somit müsste die Produktform so aussehen: $\begin{eqnarray} g(x) = (x - 1) \cdot (x^2 - x + 1) \end{eqnarray}$ Haut das so hin?
17.03.2015, 23:36	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das passt. Wenn es sich um eine reelle Zerlegung handelt, klar. (Im Komplexen gibt es ja noch zwei Nullstellen) mY+
17.03.2015, 23:55	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay.. Dann hab ich noch folgende Aufgabe: Weisen Sie durch doppelte Anwendung des Horner - Schemas nach, dass $\begin{eqnarray} x_{1,2} = 1 \end{eqnarray}$ eine doppelte Nullstelle von $\begin{eqnarray} h(x) = 2x^3 - 8x^2 + 10x - 4 \end{eqnarray}$ ist. Nach der ersten Anwendung des Schemas kommt $\begin{eqnarray} 2x^2 - 6x + 4 \end{eqnarray}$ raus. Wenn ich hier 1 einsetz, kommt 0 = 0 Somit hat diese Funktion ja bei x = 1 auch eine Nullstelle, womit es ja eigentlich schon nachgewiesen ist. Ich versteh nicht ganz, wieso ich das Schema jetzt noch mal anwenden soll?! Hab es dennoch gemacht und bekomme nun $\begin{eqnarray} 2x - 4 \end{eqnarray}$ Sollte richtig sein, oder?
18.03.2015, 00:10	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Anwendung war klar. Diese lieferte 1. Nun kann für $\begin{eqnarray} 2x^2 - 6x + 4 \end{eqnarray}$ Horner nochmals angewandt werden, und das ergibt nochmals 1. Du solltest also 1 nicht direkt in den quadratischen Term einsetzen (was natürlich hier zufällig eine wahre Aussage ergibt), sondern die zweite Nullstelle 1 ebenfalls mittels Horner ermitteln. $\begin{eqnarray} 2x - 4 \end{eqnarray}$ ergibt schon die 3. Nullstelle 2 mY+

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