Diffbarkeit, Stetigkeit, Polstelle

18.03.2015, 00:10

martinio

Diffbarkeit, Stetigkeit, Polstelle

Hallo,

habe die Sorge evtl. was falsch verstanden zu haben, daher wäre es nett, wenn mir jmd. kurz folgende Punkte "absegnen" könnte:

1. Unstetigkeitsstellen sind solche an denen die Funktion nicht definiert ist, d.h. Lücken im Definitionsbereich aufweist. (Häufigd die Null im Nenner).

2. Hingegen ist eine Funktion stetig an einer Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , wenn der Grenzwert an dieser Stelle eindeutig definiert, d.h. links- und rechtsseitiger Grenzwert sind gleich, und mit dem Funktionswert übereinstimmt: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0) \end{eqnarray*}$

3. Eine Funktion ist an einer Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ genau dann differenzierbar, wenn der Grenzwert genau eindeutig bestimmt ist. Dafür muss der Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ nicht zwingend zum Definitionsbereich gehören!

5. Eine Funktion lässt sich genau dann an einer Unstetigkeitsstelle fortsetzen, wenn der Grenzwert an dieser Stelle eindeutig bestimmt ist. Wir sprechen dann von einer tsetig hebbaren Definitionslücke.

6. Polstellen können an solchen Stellen vorkommen, bei denen rechts- und linksseitiger Grenzwert nicht übereinstimmen und den Wert +/- unendlich annehmen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0^+} f(x) = +/- \infty \text{ und } \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0^-} f(x) = +/- \infty \end{eqnarray*}$

Vielen Dank!

18.03.2015, 08:25

klarsoweit

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RE: Diffbarkeit, Stetigkeit, Polstelle

Zitat:

Original von martinio
1. Unstetigkeitsstellen sind solche an denen die Funktion nicht definiert ist, d.h. Lücken im Definitionsbereich aufweist. (Häufigd die Null im Nenner).

Falsch. An den Stellen, an denen eine Funktion nicht definiert ist, braucht man über Stetigkeit nicht nachdenken. Dort gibt es keine Stetigkeit. Hingegen kann eine Funktion an einer Stelle, wo sie definiert ist, durchaus unstetig sein. Beispiel:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases}x-1 & \text{für } x < 0 \\ x+1 & \text{für } x \geq 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von martinio
3. Eine Funktion ist an einer Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ genau dann differenzierbar, wenn der Grenzwert genau eindeutig bestimmt ist. Dafür muss der Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ nicht zwingend zum Definitionsbereich gehören!

Falsch. Der Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ muß sehr wohl (wie auch bei der Stetigkeit) zum Definitionsbereich gehören. Außerdem: von welchem Grenzwert redest du?

18.03.2015, 09:38

martinio

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RE: Diffbarkeit, Stetigkeit, Polstelle

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von martinio
1. Unstetigkeitsstellen sind solche an denen die Funktion nicht definiert ist, d.h. Lücken im Definitionsbereich aufweist. (Häufigd die Null im Nenner).

Zu deinem Beispiel: Die Funktion ist in $\begin{eqnarray*} x_0 =0 \end{eqnarray*}$ unstetig, da sich links- und rechtsseitiger GW sich unterscheiden? D.h. hier liegt ein Sprung vor. Genauer müsste man aber doch sage, dass die funktions rechtsseitig stetig, da hier der Funktionswert mit dem GW übereinstimmt?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} x-1 =-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^+}x+1 =1 = f(x_0) \end{eqnarray*}$

Also bei Definitionslücken kann das "Kozept" der Stetigkeit garnicht funktionieren, da es keinen Funktionswert gibt, denn eine Funktion ist genau dann stetig in einem Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0) \end{eqnarray*}$

18.03.2015, 10:00

klarsoweit

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RE: Diffbarkeit, Stetigkeit, Polstelle

Zitat:

Original von martinio
Die Funktion ist in $\begin{eqnarray*} x_0 =0 \end{eqnarray*}$ unstetig, da sich links- und rechtsseitiger GW sich unterscheiden? D.h. hier liegt ein Sprung vor.

Ja.

Zitat:

Original von martinio
Genauer müsste man aber doch sage, dass die funktions rechtsseitig stetig, da hier der Funktionswert mit dem GW übereinstimmt?

Wenn man so will: ja. Für die Stetigkeit als solche ist das nicht weiter relevant.

Zitat:

Original von martinio
Also bei Definitionslücken kann das "Kozept" der Stetigkeit garnicht funktionieren, da es keinen Funktionswert gibt, denn eine Funktion ist genau dann stetig in einem Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0) \end{eqnarray*}$

Richtig.

18.03.2015, 10:14

martinio

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RE: Diffbarkeit, Stetigkeit, Polstelle

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Falsch. Der Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ muß sehr wohl (wie auch bei der Stetigkeit) zum Definitionsbereich gehören. Außerdem: von welchem Grenzwert redest du?

Okay verstanden. Ich rede vom eindeutig bestimmten Grenzwert, d.h. wenn links- und rechtsseitiger GW übereinstimmen, dann ist die Funktion in einem Punkt differenzierbar.

Habe allerdings hierzu noch eine Frage. Betrachten wir mal die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} \sin (\frac{1}{x}) &\mbox{wenn } x \neq 0 \\ 0 & \mbox{wenn } x = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Die Funktion soll an der Stelle 0 stetig stein, aber nicht differenzierbar, denn der Grenzwert pendelt unendlich oft zwischen den Werten 1 und 1 und ist daher nicht eindeutig bestimmt.Warum ist die Funktion dann trotzdem stetig an der Stelle 0? Nach den überlegungen des vorherigen Posts dürfte sie es ja dann nicht sein, oder liegt es hier viel mehr daran, dass der Wert der Funktion an der Stelle explizit definiert ist, damit die Fuktion "sprungfrei" bleibt.

Wenn dem nicht so wäre, so wäre die Funktion weder diffbar noch steitig an der Stelle 0?

18.03.2015, 10:34

klarsoweit

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RE: Diffbarkeit, Stetigkeit, Polstelle

Zitat:

Original von martinio
Ich rede vom eindeutig bestimmten Grenzwert, d.h. wenn links- und rechtsseitiger GW übereinstimmen, dann ist die Funktion in einem Punkt differenzierbar.

Nochmal die Frage: Grenzwert von was, also welchem Ausdruck?

Zitat:

Original von martinio
$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} \sin (\frac{1}{x}) &\mbox{wenn } x \neq 0 \\ 0 & \mbox{wenn } x = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Die Funktion soll an der Stelle 0 stetig stein, aber nicht differenzierbar

Die Funktion ist in Null nicht stetig, erst recht nicht differenzierbar.

Diese Funktion:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} x \cdot \sin (\frac{1}{x}) &\mbox{wenn } x \neq 0 \\ 0 & \mbox{wenn } x = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

ist in Null stetig, aber nicht differenzierbar.

Diese Funktion:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} x^2 \cdot \sin (\frac{1}{x}) &\mbox{wenn } x \neq 0 \\ 0 & \mbox{wenn } x = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

ist in Null differenzierbar und somit auch stetig.

18.03.2015, 11:48

martinio

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RE: Diffbarkeit, Stetigkeit, Polstelle

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von martinio
Ich rede vom eindeutig bestimmten Grenzwert, d.h. wenn links- und rechtsseitiger GW übereinstimmen, dann ist die Funktion in einem Punkt differenzierbar.

Nochmal die Frage: Grenzwert von was, also welchem Ausdruck?

Ich meine das hier. Bin kein Mathematiker, sorry wenn ich dich falsch verstehe. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Die Funktion ist in Null nicht stetig, erst recht nicht differenzierbar.

Dann habe ich mir etwas falsch aufgeschrieben. Die Funktion ist nicht stetig an der Stelle 0, da Definitionslücke. Die Funktion ist nicht differenzierbar, da der Grenzwert nicht eindeutig.

Zitat:

Original von klarsoweit
Diese Funktion:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} x \cdot \sin (\frac{1}{x}) &\mbox{wenn } x \neq 0 \\ 0 & \mbox{wenn } x = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$
ist in Null stetig, aber nicht differenzierbar.

Die Funktion ist aber doch nur durch die explizite Annahme des Funktionswertes an der Stelle x=0 stetig.

Zitat:

Original von klarsoweit
Diese Funktion:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} x^2 \cdot \sin (\frac{1}{x}) &\mbox{wenn } x \neq 0 \\ 0 & \mbox{wenn } x = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

ist in Null differenzierbar und somit auch stetig.

Hier stimmen also Grenzwert und Funktionswert überein.

18.03.2015, 12:46

klarsoweit

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RE: Diffbarkeit, Stetigkeit, Polstelle

Zitat:

Original von martinio
Ich meine das hier. Bin kein Mathematiker, sorry wenn ich dich falsch verstehe. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung besagt nur, daß rechts- und linksseitiger Grenzwert übereinstimmen. Das sagt gar nichts aus über die Stetigkeit und erst recht nichts über die Differenzierbarkeit.

Zitat:

Original von martinio

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Die Funktion ist in Null nicht stetig, erst recht nicht differenzierbar.

Dann habe ich mir etwas falsch aufgeschrieben. Die Funktion ist nicht stetig an der Stelle 0, da Definitionslücke. Die Funktion ist nicht differenzierbar, da der Grenzwert nicht eindeutig.

Da ist keine Definitionslücke, da die Funktion an der Stelle x=0 sehr wohl definiert ist. Bezüglich der Differenzierbarkeit gilt das weiter oben Gesagte.

Zitat:

Original von martinio

Zitat:

Die Funktion ist aber doch nur durch die explizite Annahme des Funktionswertes an der Stelle x=0 stetig.

Und wo ist das Problem? Außerdem ist das keine Annahme, sondern eine echte Festlegung. Das ist an keiner Stelle verboten worden.

Zitat:

Original von martinio

Zitat:

Hier stimmen also Grenzwert und Funktionswert überein.

Auch hier wieder die Frage, was du meinst. Welcher Grenzwert von was?

18.03.2015, 16:01

martinio

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Habs jetzt nochmal nachgearbeitet.

Eine Funktion ist genau dann differenzierbar, falls der Differentialquotient eindeutig (links- und rechtsseitig) an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ existiert: $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = f'(x_0) \end{eqnarray*}$

Dieser Grenzwert ist dann gleich der Ableitung.

Dadurch wird mir jetzt auch klar, warum

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} x \cdot \sin (\frac{1}{x}) &\mbox{wenn } x \neq 0 \\ 0 & \mbox{wenn } x = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$
nicht differenzierbar

und

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} x^2 \cdot \sin (\frac{1}{x}) &\mbox{wenn } x \neq 0 \\ 0 & \mbox{wenn } x = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$
differnzierbar ist.

Ferner gilt, dass wenn eine Funktion f in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar, dann dort auch stetig ist.

18.03.2015, 16:07

klarsoweit

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OK.

18.03.2015, 16:43

martinio

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Danke für Deine Hilfe! smile

habe noch eine Frage zu dieser Aufgabe:

Ich soll ein $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ bestimmen für die Funktion f auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}\sin(\pi(3x-5))+x^2-3 &\mbox{wenn } x \geq 2 \\ a(x-2)+b & \mbox{wenn } x <2 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Es handelt sich ja hier um eine abschnittsweise definierte Funktion. Sei der obere Teil mal als f1 und der untere Teil f2 genannt. Dann muss, wenn die Funktion in $\begin{eqnarray*} x_0=2 \end{eqnarray*}$ differenzierbar sein soll gelten, dass links- und rechtsseitgen Diffentialquotient von f1/f2 gleich sind, also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0^+} \frac{f_1(x)-f_1(x_0)}{x-x } =\lim_{x \to x_0^-} \frac{f_2(x)-f_2(x_0)}{x -x_0 } \end{eqnarray*}$

Das Problem ist jetzt, dass ich das nicht wirklich aufgelöst bekomme:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2^+}\frac{(\sin(\pi(3x-5))+x^2-3)-(\sin(\pi(3\times2-5))+1}{x-2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{(ax-2a+b)-b}{x-2} \end{eqnarray*}$

Darf ich nicht einfach ableiten? Der Differentialquotient ist ja die Ableitung?
(Per Ableitung käme ich sogar auf das richtige Ergebnis - bin mir nur nicht sicher, ob ich das nun darf oder nicht)

19.03.2015, 08:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von martinio
Darf ich nicht einfach ableiten? Der Differentialquotient ist ja die Ableitung?

Nun ja, der Grenzwert des Differentialquotients ist die Ableitung. Insofern darfst du zur Bestimmung des Grenzwerts auch die Ableitung verwenden.

19.03.2015, 11:26

HAL 9000

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Da ähnliche Aufgaben immer wieder vorkommen - man kann es so formuleren:

Zitat:

Seien $\begin{align*} g,h \end{align*}$ reelle Funktionen, die in einer offenen Umgebung $\begin{align*} U \end{align*}$ eines Punktes $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ definiert und an der Stelle $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ differenzierbar sind. Dann ist Funktion

$\begin{align*} f(x) = \begin{cases} g(x) & \;\mbox{für}\; x\in U,\, x<x_0\\ h(x) & \;\mbox{für}\; x\in U,\, x\geq x_0\end{cases} \end{align*}$

an der Stelle $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ genau dann differenzierbar, wenn $\begin{align*} g(x_0)=h(x_0) \end{align*}$ sowie $\begin{align*} g'(x_0)=h'(x_0) \end{align*}$ gilt.

Alternativ kann die $\begin{align*} f \end{align*}$ -Definition natürlich auch mit den zwei Fällen $\begin{align*} x\leq x_0 \end{align*}$ und $\begin{align*} x>x_0 \end{align*}$ geschehen, ist rum wie num.

19.03.2015, 15:59

martinio

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Danke Euch beiden! Ihr seid eine riesen Hilfe smile

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