Polynomdivision und Nullstellen in Restklassen

18.03.2015, 01:46

multicereales

Polynomdivision und Nullstellen in Restklassen

Hallo,

ich bräuchte ein bisschen Hilfe bei folgender Aufgabe:

Gegeben seien die folgenden Polynome p; q $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Z7[T]:
$\begin{eqnarray*} p(T)=T^{5}+5T^{3}+4T^{2}+2T+4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q(T)=T^{3}+3T^{2}+3T+3 \end{eqnarray*}$

(a)
Bestimmen Sie mittels Polynomdivision Polynome s; r $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Z7[T], so dass
gilt
$\begin{eqnarray*} p(T) = s(T) \cdot q(T) + r(T) \wedge gradr < gradq \end{eqnarray*}$

(b)
Bestimmen Sie alle Nullstellen von p in Z7

Für (a) hab ich raus:
$\begin{eqnarray*} s(T)=T^{2}+4T+4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r(T)=5T^{2}+6T+6 \end{eqnarray*}$

1) Ist meine Lösung richtig?
2) Wie berechne ich die Nullstellen? Reicht es sie einfach zu raten, da ich mich ja in Z7 befinde und die Nullstellen daher nur 0,1,2,3,4,5,6 sein können, oder wie muss ich vorgehen?

18.03.2015, 05:08

JesusChristus

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zu a)

Rechne doch einfach nach und guck ob

$\begin{eqnarray*} (T^3+3T^2+3T+3)(T^2+4T+4)+5T^2+6T+6=T^5+5T^3+4T^2+2T+4 \end{eqnarray*}$

ist. Und ja, es stimmt.

zu b)

Eigentlich so wie in der Schule. Man errät eine Nullstelle. Damit kannst du dann eine Polynomdivision durchführen.
Du kannst natürlich auch alle Nullstellen so erraten. Der Nachteil ist, dass doppelte Nullstellen auf diese Weise unter Umständen unerkannt bleiben.

22.08.2016, 01:57

i++

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Hallo,

ich muss gerade ganz ähnliche Aufgaben bearbeiten. Leider ist mir überhaupt nicht klar, wie ich speziell auf dieses Beispiel bezogen auf die Koeffizienten s(T)=T²+4T+4 in der Lösung komme und komme dementsprechend gerade überhaupt nicht weiter.

22.08.2016, 11:07

Elvis

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Hast Du schon mal vom euklidischen Algorithmus gehört ? Damit berechnet man s und r in der Gleichung p=sq+r, d(r)<d(q) . Mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus berechnet man den ggT(p,q) und die Darstellung ggT(p,q)=px+qy . Das geht so in allen euklidischen Ringen, insbesondere in Polynomringen über Körpern.

$\begin{eqnarray*} (T^5+5T^3+4T^2+2T+4) : (T^3+3T^2+3T+3)=T^2+4T+4\; Rest \; 5T^2+6T+6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T^5+3T^4+3T^3+3T^2 \end{eqnarray*}$
--------------------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} 4T^4+2T^3+T^2+2T+4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4T^4+5T^3+5T^2+5T \end{eqnarray*}$
--------------------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} 4T^3+3T^2+4T+4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4T^3+5T^2+5T+5 \end{eqnarray*}$
--------------------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} 5T^2+6T+6 \end{eqnarray*}$

Ganz normale Polynomdivision, bei den Koeffizienten wird modulo 7 gerechnet.

24.08.2016, 15:55

RavenOnJ

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RE: Polynomdivision und Nullstellen in Restklassen

Zitat:

Original von multicereales

2) Wie berechne ich die Nullstellen? Reicht es sie einfach zu raten, da ich mich ja in Z7 befinde und die Nullstellen daher nur 0,1,2,3,4,5,6 sein können, oder wie muss ich vorgehen?

Man braucht doch nicht zu raten, man kann einfach rechnen. Es gibt nur 7 Werte, die sukzessive eingesetzt werden müssen. Just for fun kann man daraus eine kleine Programmierübung machen (muss nicht in Haskell sein, obwohl es damit besonders einfach wird):

code:
1: 2: 3: 4:	let p x = x^5 + 5x^3 + 4x^2 + 2*x + 4 let t x = p x `mod` 7 map (\x->t x)[0..6]

25.08.2016, 05:44

i++

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Danke für die Antworten, ich habe es nun auch endlich verstanden! Freude

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