Konvergenzbeweis verallg. Heron-Verfahren

18.03.2015, 14:47	Freedom Wizard	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzbeweis verallg. Heron-Verfahren Hallo! Ich muss für eine Übungsaufgabe einen Konvergenzbeweis für das verallgemeinerte Heron-Verfahren mithilfe der Bernoulli-Ungleichung liefern. Heron-Verfahren: $\begin{eqnarray} x_{n+1} = \frac{1}{p}[(p-1)x_{n} + \frac{a}{x_{n}^{p-1}}] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a > 0, p \in \mathbb N, p \geq 2 \end{eqnarray}$ Ein Hinweis war gegeben, nämlich dass man mit der Bernoulli-Ungleichungen zeigen kann, dass $\begin{eqnarray} (x - \frac{x^{p} - a}{px^{p-1}})^{p} \geq a \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} x_{n}^{p} \geq a \end{eqnarray}$ . Ich habe mich mit dem Problem beschäfigt, aber noch keine Lösung gefunden. Meine Frage ist vor allem: Wie kommt man auf diese Behauptung. Danke!
18.03.2015, 15:04	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Bernoulli-Ungleichung besagt $\begin{align} (1+t)^p \geq 1+pt \end{align}$ für alle $\begin{align} p\in\mathbb{N},p\geq 1 \end{align}$ und reelle $\begin{align} t\geq -1 \end{align}$ . Mit der dir gegebenen Hilfestellung fängt man an $\begin{align} \left(x - \frac{x^p-a}{px^{p-1}} \right)^p = \left( x \left(1 - \frac{x^p-a}{px^p} \right) \right)^p = x^p \left(1 - \frac{x^p-a}{px^p}\right)^p \geq \ldots \end{align}$ P.S.: Ich hätte ja dafür eher AMGM genommen, aber mit Bernoulli geht es in der Tat auch.
18.03.2015, 15:25	Freedom Wizard	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, danke! Damit schaffe ich den Rest des Beweis alleine!

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