Komplexe Zahl z2 aus z1 berechnen

18.03.2015, 15:01

Rivago

Komplexe Zahl z2 aus z1 berechnen

Gegeben ist $\begin{eqnarray*} z_1 = 2 \cdot \left( \frac{2i - 1}{i + 1} - i \right) \end{eqnarray*}$

Welche zu $\begin{eqnarray*} z_1 = 1 + i \end{eqnarray*}$ umgewandelt wurde.

Anschließend sollte man diese Zahl in die Exponentialform bringen, also $\begin{eqnarray*} z_1 = \sqrt{2} \cdot e^{i\frac{\pi}{4}} \end{eqnarray*}$

Jetzt ist gegeben $\begin{eqnarray*} z_2 = z_1^5 \end{eqnarray*}$

Und die soll ich in der kart./algebr. Form berechnen.

Muss ich das jetzt unbedingt so hier machen? $\begin{eqnarray*} z_2 = (\sqrt{2} \cdot e^{i\frac{\pi}{4}})^5 \end{eqnarray*}$

Ich hab es jetzt so gemacht: $\begin{eqnarray*} (1 + i) \cdot (1 + i) \cdot (1 + i) \cdot (1 + i) \cdot (1 + i) \end{eqnarray*}$

Das fix einmal ausmultipliziert und bin zu $\begin{eqnarray*} z_2 = -4 - 4i \end{eqnarray*}$ gekommen.

Ich hab bei der ersten Variante Probleme. Keine Ahnung wie ich das umwandeln soll. Gibts da einen Trick?

18.03.2015, 15:05

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahl z2 aus z1 berechnen

Zitat:

Original von Rivago
Gegeben ist $\begin{eqnarray*} z_1 = 2 \cdot \left( \frac{2i - 1}{i + 1} - i \right) \end{eqnarray*}$

Welche zu $\begin{eqnarray*} z_1 = 1 + i \end{eqnarray*}$ umgewandelt wurde.

Wenn ich mir die andere Aufgabe so anschaue, müßte das nicht 1 + 4i sein?

18.03.2015, 15:10

Rivago

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Ja, siehe mein anderer Thread. Ich komm auch auf $\begin{eqnarray*} 1 + 4i \end{eqnarray*}$ verwirrt

Fehler in der Lösung?

18.03.2015, 15:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von Rivago
Ja, siehe mein anderer Thread. Ich komm auch auf $\begin{eqnarray*} 1 + 4i \end{eqnarray*}$ verwirrt

Sorry, ich habe mir den anderen Thread nochmal genauer angesehen z_1 = 1+i ist richtig.

Zitat:

Original von Rivago
Muss ich das jetzt unbedingt so hier machen? $\begin{eqnarray*} z_2 = (\sqrt{2} \cdot e^{i\frac{\pi}{4}})^5 \end{eqnarray*}$

Das wäre für mich der einfachste Weg. Einfach Potenzregeln anwenden. smile

Zitat:

Original von Rivago
Ich hab es jetzt so gemacht: $\begin{eqnarray*} (1 + i) \cdot (1 + i) \cdot (1 + i) \cdot (1 + i) \cdot (1 + i) \end{eqnarray*}$

Das fix einmal ausmultipliziert und bin zu $\begin{eqnarray*} z_2 = -4 - 4i \end{eqnarray*}$ gekommen.

Das stimmt. Kann aber für größere Exponenten in eine wilde Rechnerei ausarten. Oder was willst du bei $\begin{eqnarray*} z_2^{100} \end{eqnarray*}$ rechnen?

EDIT: gemeint war eigentlich $\begin{eqnarray*} z_1^{100} \end{eqnarray*}$ . Ändert aber ansonsten nichts.

18.03.2015, 15:53

Rivago

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Bei $\begin{eqnarray*} z_2^{100} \end{eqnarray*}$ renn ich weinend aus der Prüfung Big Laugh

Hmm.. Magst du mir kurz erklären, wie man da vorgeht?

18.03.2015, 16:00

klarsoweit

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Wie gesagt: auf $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2} \cdot e^{i\frac{\pi}{4}})^5 \end{eqnarray*}$ die Potenzregeln anwenden.
Die Regel $\begin{eqnarray*} (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \end{eqnarray*}$ solltest du schon mal gesehen haben. smile

18.03.2015, 16:08

Rivago

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Hm, laut Lösung ist das dann $\begin{eqnarray*} 4\sqrt{2} \cdot e^{i\frac{5\pi}{4}} \end{eqnarray*}$

Wie komm ich auf die 4Wurzel2 ??

Auch hier spuckt mir selbst mein guter Taschenrechner nur eine Kommazahl aus, was halt nicht so gut ist.

Wie kommt es zu den 5pi/4?

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