Punkte in Gaußscher Zahlenebene

18.03.2015, 19:19

Rivago

Auf diesen Beitrag antworten »

Punkte in Gaußscher Zahlenebene

Welche Menge von Punkten in der Gaußschen Zahlenebene wird durch die Gleichung $\begin{eqnarray*} M = \left\{ z \in \mathbb{C} | \frac{1}{3} \cdot |z - 2| = |z + 2|\right\} \end{eqnarray*}$

Ich bin jetzt bis hier hin erstmal gekommen: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} |(x - 2) + iy| = |(x + 2) + iy| \end{eqnarray*}$

In der Lösung steht es aber so: $\begin{eqnarray*} |(x - 2) + iy| = 3\cdot |(x + 2) + iy| \end{eqnarray*}$

Wo kommt denn nun wieder die 3 her? Und warum sind die 1/3 weg?

18.03.2015, 19:26

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Multipliziere die Gleichung doch mal mit 3 Augenzwinkern

Augenzwinkern

Lg
kgV

Wink

18.03.2015, 19:28

Rivago

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay.. warum macht man das?

18.03.2015, 19:33

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Rivago
Okay.. warum macht man das?

Weil man ganze Zahlen ästhetischer als Brüche empfindet. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ehrlich: Es bringt nichts, bei jedem kleinen Umformungsschritt stereotyp "warum tut man das" zu fragen. Das Fernziel ist wichtig, und das lautet hier, das ganze in eine reelle Gleichung in x,y umzuwandeln.

18.03.2015, 19:41

Rivago

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, man kann es aber auch so lassen, wie es ist?

Hab ich nämlich jetzt so gemacht, komm aber halt wie immer nur auf Schrott.. der Müll regt mich echt auf böse

böse

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \cdot \sqrt{(x - 2)^2 + y^2} = \sqrt{(x + 2)^2 + y^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} \cdot (x - 2)^2 + y^2 = (x + 2)^2 + y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} \cdot x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + 4x + 4 + y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{8}{9}x^2 + \frac{40}{9}x + \frac{32}{9} + \frac{8}{9}y^2 \end{eqnarray*}$

18.03.2015, 19:47

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Dass du auf "Schrott" kommst, liegt daran, dass du das neuntel vor dem Binomi falsch angewandt hast. Du musst schon jeden einzelnen Summanden aus der Klammer damit multiplizieren

Anzeige

18.03.2015, 19:51

Rivago

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich doch gemacht verwirrt

verwirrt

18.03.2015, 19:59

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sollte vielleicht eine Zeile weiterlesen Hammer

Hammer

In der vorletzten fehlt dir in dem Fall die Klammer, und da hab ich die letzte Zeile dann automatisch als falsch angenommen, sry

Wenn du jetzt mit 9 multiplizierst, dann bist du schonmal die Brüche los. Und wenn du dann noch nach einer Variablen auflöst, dann sollte das Ding gegessen sein

18.03.2015, 20:04

Rivago

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann komm ich jetzt auf $\begin{eqnarray*} 0 = x^2 + 5x + 4 + y^2 \end{eqnarray*}$

Was ist damit noch zu machen?

18.03.2015, 20:04

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kgV
Ich sollte vielleicht eine Zeile weiterlesen Hammer

Hammer

Nur weil 3 Zeilen später mal wieder was termtechnisch richtiges steht, kann man trotzdem die fehlenden Klammern kritisieren. Insofern mag zwar das "hab ich doch gemacht" stimmen, aber es wurde zwischendurch falsch aufgeschrieben - was den Helfern das Nachvollziehen deutlich erschwert.

Deswegen kritisiere ich die Hammer

Hammer

-Selbstkritik von kgV als unnötig - der schwarze Peter liegt allein bei Rivago.

18.03.2015, 20:10

Rivago

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich hab das jetzt schnell eingetippt und die Klammern vergessen. Sonst versuch ich doch immer alles möglichst sauber darzustellen Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.03.2015, 20:13

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt sollten wir versuchen, daraus eine Kreisgleichung zu basteln. Dazu brauchst du eine quadratische Ergänzung

18.03.2015, 20:21

Rivago

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum ausgerechnet eine Kreisgleichung? Woran erkennt man das?

$\begin{eqnarray*} 0 = x^2 + 5x + \left(\frac{5}{2}\right)^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2 + 4 + y^2 \end{eqnarray*}$

18.03.2015, 20:26

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, du hast hier x und y quadratisch, aber keinen Mischterm der Form xy. Das ist eine Kreisgleichung, die auf der y-Achse verschoben ist

Außerdem sind Beträge im Komplexen meist Kreise im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$
Zu deiner Umformung: jep, jetzt noch fertig umformen, und dann Mittelpunkt und Radius ablesen. Damit ist deine Menge dann eindeutig (und wunderbar einfach) festgelegt

18.03.2015, 20:34

Rivago

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich das richtig mach..

$\begin{eqnarray*} 0 = \left( x + \frac{5}{2} \right)^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2 + y^2 \end{eqnarray*}$

Kann ich mir dem Rest noch was machen?

18.03.2015, 20:38

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Bring die Zahl nach links (du hast die 4 verloren, hol dir die zurück Augenzwinkern

Augenzwinkern

)
Danach kannst du aus der Formel $\begin{eqnarray*} (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \end{eqnarray*}$ die x,y-Koordinaten und den Radius ablesen

18.03.2015, 20:42

Rivago

Auf diesen Beitrag antworten »

Huch ^^ Jetzt ist sie wieder da..

$\begin{eqnarray*} 0 = \left( x + \frac{5}{2} \right)^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2 + y^2 + 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4 = \left( x + \frac{5}{2} \right)^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2 + y^2 \end{eqnarray*}$

Wo les ich da jetzt was ab?

18.03.2015, 20:50

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Die $\begin{eqnarray*} \left(\frac52\right)^2 \end{eqnarray*}$ will auch noch nach links, sie fühlt sich alleine bei den Variablen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Und dann solltest du doch die Formel kennen, die dir den Mittelpunkt als $\begin{eqnarray*} (-a,-b) \end{eqnarray*}$ bestimmt. In meiner obigen Formel steht das r übrigens für Radius, den kannst du dann auch direkt mit ablesen smile

smile

18.03.2015, 20:57

Rivago

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann

$\begin{eqnarray*} 2,25 = \left( x + \frac{5}{2} \right)^2 + y^2 \end{eqnarray*}$

Somit r = 1,5

x = -2,5

y = 0

?

18.03.2015, 21:00

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich bestätigen, ja. Wir haben also einen Kreis mit Radius 1.5 um den Punkt $\begin{eqnarray*} M=(-2.5,0) \end{eqnarray*}$ , der durch die Angabe beschrieben ist smile

smile

18.03.2015, 21:04

Rivago

Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderhübsch..

War ja ne schwere Geburt. Danke smile

smile

18.03.2015, 21:07

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen smile

smile

18.03.2015, 21:14

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kgV
Nun, du hast hier x und y quadratisch, aber keinen Mischterm der Form xy. Das ist eine Kreisgleichung, die auf der y-Achse verschoben ist

Als kleine Ergänzung: es ist noch bedeutend, dass vor den quadratischen Termen kein weiterer Faktor mehr steht. Hat man einen Ausdruck der Form $\begin{eqnarray*} ax^2+by^2=c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b,c>0,a\neq b \end{eqnarray*}$ , so handelt es sich um eine Ellipse. Wink

Wink

18.03.2015, 21:21

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, die Ellipse habe ich nicht bedacht Freude

Freude

Danke

smile

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »