Supremum, Folge, Unendlich

19.03.2015, 18:14

StrunzMagi

Supremum, Folge, Unendlich

Hallo,
Ich habe eine Frage:
Ich habe eine Menge A der natürlichen Zahlen, wenn das Supremum endlich ist kann ich eine Folge in A konstruieren, die gegen das sup(A) konvergiert. Indem ich $\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb{N}, n\ge 1: a_n \in A, sup(A) -\frac{1}{n} \le a_n \le sup(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sup(A)-2 < a_0 < sup(A) \end{eqnarray*}$ wähle.
Wenn das supremum aber unendlich ist, kann ich dann auch immer eine Folge in A konstruieren, die gegen das Supremum also unendlich ("konvergiert") bestimmt divergiert?

Liebe Grüße,
Ich hoffe die Frage ist nicht zu konfus..

20.03.2015, 01:25

Guppi12

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Hi,

Zitat:

Ich hoffe die Frage ist nicht zu konfus..

leider doch. Soll $\begin{eqnarray*} \emptyset \neq A\subseteq \mathbb N \end{eqnarray*}$ gelten? Falls ja, so folgt aus $\begin{eqnarray*} \sup A < \infty \end{eqnarray*}$ bereits, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein Maximum hat. Damit kannst du dir wesentlich leichter eine Folge in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bauen, die gegen dieses Supremum / Maximum konvergiert.

Zitat:

Wenn das supremum aber unendlich ist, kann ich dann auch immer eine Folge in A konstruieren, die gegen das Supremum also unendlich ("konvergiert") bestimmt divergiert?

Ja, Supremum unendlich heißt ja, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ unbeschränkt ist. Was hast du denn schon versucht um eine solche Folge zu konstruieren? Vielleicht hilft es, sich in Quantoren hinzuschreiben, was (nach oben) unbeschränkt heißt.

20.03.2015, 17:56

StrunzMagi

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Zitat:

Original von Guppi12
Hi,

Zitat:

Ich hoffe die Frage ist nicht zu konfus..

Zitat:

Wenn das supremum aber unendlich ist, kann ich dann auch immer eine Folge in A konstruieren, die gegen das Supremum also unendlich ("konvergiert") bestimmt divergiert?

A ist unbeschränkt d.h.: $\begin{eqnarray*} \forall K>0 \exists x \in A: |x|>R \end{eqnarray*}$
Es geht um einen Beweis für eine beliebig Funktion f auf eine Menge X, wo steht: Sei $\begin{eqnarray*} \zeta:=sup f(X) \end{eqnarray*}$ Egal, ob $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ endlich oder $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ ist, stets gibt es eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_n) \rightarrow \zeta \end{eqnarray*}$ .

20.03.2015, 19:34

Guppi12

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Was hat denn das nun mit einer Menge natürlicher Zahlen zu tun? Magst du das einmal erklären?

Ich nehme mal an, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ dann doch eher eine Teilmenge reeller Zahlen sein soll. Die ganze Problematik ist auch nur etwas verkompliziert dargestellt, mit Funktionen hat das garnichts zu tun.
Es geht doch eigentlich darum, dass es zu einer Teilmenge $\begin{eqnarray*} Y\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ stets eine Folge $\begin{eqnarray*} (y_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} y_n \to \sup Y \end{eqnarray*}$ . Wenn man das hat, kann man die Funktion ja leicht noch einbauen.

Bin mir nicht ganz sicher, ob du das auch mit deinem ersten Beitrag meintest, weil du hier aus irgendeinem Grund von natürlichen Zahlen redest. verwirrt

Dein Beweis bei Endlichkeit des Supremums geht dann auch so durch. Fehlt nur ein Existenzquantor vor dem $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

A ist unbeschränkt d.h.: $\begin{eqnarray*} \forall K>0 \exists x \in A: |x|>R \end{eqnarray*}$

Spezieller: Wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ noch oben unbeschränkt ist, lässt man den Betrag weg.

Damit kannst du doch jetzt ohne Probleme eine Folge in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bauen, die bestimmt gegegen unendlich divergiert. Hast du da eine Formulierungsidee?

24.03.2015, 11:34

StrunzMagi

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Achso ja das ist mir nun klar geworden!
Ich meinteX Teilmenge der reellen zahlen.
$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb{N} \exists x_n \in A: x_n > n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty} x_n > \lim_{n\rightarrow\infty} n = \infty \end{eqnarray*}$

Wie funktioniert das nun mit den Funktionen wie ich es im vorletzen Post angesprochen habe??

Liebe Grüße

24.03.2015, 21:55

Guppi12

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Du kannst doch nun zuänchst eine geeignete Folge im Bildbereich wählen und dazu dann eine dazugehörige Folge im Definitionsbereich wählen. Auf so etwas darf man gerne selbst kommen.

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