Punkte an Gerade spiegeln

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19.03.2015, 20:34	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Punkte an Gerade spiegeln Gegeben seien die Punkte $\begin{eqnarray} A_1(1\|1\|1) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} A_2(3\|1\|-1) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} A_3(3\|3\|-3) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_4(1\|5\|-3) \end{eqnarray}$ Erste Aufgabe: Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Geraden g, die durch die Punkte A_2 und A_3 geht und die Plückerform der Geraden h, die durch die Punkte A_1 und A_4 geht. $\begin{eqnarray} g : \vec x = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h : \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und in Plückerform $\begin{eqnarray} \left[ \vec x - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right] \times \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix} = \vec 0 \end{eqnarray}$ Nächste Aufgabe: Spiegeln Sie die Punkte A_2 und A_3 an der Geraden h ohne Verwendung der Matrixrechnung und geben Sie die Spiegelpunkte an. Beschreiben Sie diese Spiegelung f in allgemeiner Weise durch eine Funktionsgleichung $\begin{eqnarray} \vec y = \underline{\underline{M}} \cdot \vec x + \vec b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \underline{\underline{M}} \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec b \in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ Ich hab eine Hilfsebene aufgestellt: $\begin{eqnarray} H: 4x_2 - 4x_3 = d \end{eqnarray}$ jetzt A_2 in H $\begin{eqnarray} 4 \cdot 1 - 4 \cdot (-1) = d \end{eqnarray}$ Somit d = 8 und $\begin{eqnarray} H_1 : x_2 - x_3 = 2 \end{eqnarray}$ A_3 in H $\begin{eqnarray} 4 \cdot 3 - 4 \cdot (-3) = d \end{eqnarray}$ Somit d = 24 und $\begin{eqnarray} H_2 : x_2 - x_3 = 6 \end{eqnarray}$ Jetzt h in H_1 $\begin{eqnarray} 1 + 4s - (1 - 4s) = 2 \end{eqnarray}$ Somit s = 0 und der Spiegelpunkt $\begin{eqnarray} A_2' (1\|1\|1) \end{eqnarray}$ Aber stimmt das? Edit: Ich glaub ich hab meinen Fehler gefunden.. Hab nun $\begin{eqnarray} A_2'(1\|2\|0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_3'(1\|4\|-2) \end{eqnarray}$ Passt das? Hab diesmal leider keine Lösung zum vergleichen. Bräuchte aber noch Hilfe für den 2. Aufgabenteil
23.03.2015, 20:29	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Wirklich niemand?
23.03.2015, 20:46	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
mein weiches Herz wenn du es nicht intuitiv oder so erfaßt, hier steht unter orthogonalprojektion ff. alles, was du brauchst. Aus dem Bilderl kannst du dein Problem herausfischen, wenn du die homogenen Koordinaten "abziehst" (nebenbei: die gespiegelten Punkte dürften wieder nicht stimmen)
23.03.2015, 20:57	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmts jetzt? $\begin{eqnarray} A_2'(1\|2\|-2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_3'(1\|4\|-2) \end{eqnarray}$ Ich guck mir das gleich an..
23.03.2015, 21:02	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
beide sind falsch, wie oben steht nach meiner Vermutung $\begin{eqnarray} A_2^\prime(-1/3/1) \end{eqnarray}$ kommt sowohl "konventionell" als auch mit der Matrix von oben heraus. was bei mir nix heißen soll
23.03.2015, 21:06	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wo mach ich dann den Fehler? Es ist ja $\begin{eqnarray} H: 4x_2 - 4x_3 = d \end{eqnarray}$ und wenn ich den Punkt A2 da einsetze, erhalte ich $\begin{eqnarray} d = 8 \end{eqnarray}$ , somit $\begin{eqnarray} H: 4x_2 - 4x_3 = 8 \end{eqnarray}$ Und nun h in H $\begin{eqnarray} 4(1 + 4s) - 4(1 - 4s) = 8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 32s = 8 \end{eqnarray}$ Und damit $\begin{eqnarray} s = \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ Setz ich s nun in h ein, folgt mein schon genannter Punkt
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23.03.2015, 22:46	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja aber das sind NICHT die Spiegelpunkte, das sind die entsprechenden Lotpunkte, also Punkte auf h. die gespiegelten Punkte sind daher welche
23.03.2015, 23:45	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach, ich muss jetzt das s mal 2 nehmen, und dann einsetzen $\begin{eqnarray} A_2'(0\|3\|-1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_3'(1\|7\|-5) \end{eqnarray}$ Jetzt sollte es aber passen. Und auch das ist falsch.. gibts doch gar nicht.. Also der Durchstoßpunkt ist doch nun $\begin{eqnarray} D_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und der Spiegelpunkt ergibt sich aus $\begin{eqnarray} \overrightarrow{OA_2'} = \overrightarrow{OA} + 2 \cdot \overrightarrow{A_2D_1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \begin{pmatrix} 3\\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = <br /> \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aber das stimmt ja mit deiner Lösung auch nicht überein. Dann weiß ich jetzt echt nicht mehr wo ich noch nen Fehler mach Noch ein Edit: Ich war halt zu blöd zum rechnen.. $\begin{eqnarray} = \begin{pmatrix} 3\\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt stimmts
24.03.2015, 08:45	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} A_2^S(-1/3/1) \end{eqnarray}$ man kann sich die Arbeit ganz beträchtlich erleichtern Aus der Lotebene geschnitten mit h folgt zunächst $\begin{eqnarray} y-z=d\to 2t=d \end{eqnarray}$ die beiden Punkte einsetzen ergibt $\begin{eqnarray} d_2=1 \wedge d_3=3 \end{eqnarray}$ und damit aus h die Lotpunkte $\begin{eqnarray} L_2(1/2/0)\wedge L_3(1/4/-2) \end{eqnarray}$ nun geht noch etwas einfacher $\begin{eqnarray} \overrightarrow{OA}^S=\overrightarrow{OL}+\overrightarrow{AL} \end{eqnarray}$ und jetzt finde die passende Matrix und den zugehörigen Verschiebungsvektor, Tipp s.o.

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