Nullstellen berechnen

19.03.2015, 22:32

informer_85

Nullstellen berechnen

Meine Frage:
Hallo, ich habe folgende Funktion, zu der ich die Nullstellen Suche:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x+h)^4-x^4}{h} \end{eqnarray*}$

(x = const.)

Meine Ideen:
Da die Funktion ja Null wird, wenn der Zähler Null wird, muss ich mich m.E. nur um $\begin{eqnarray*} (x+h)^4-x^4 \end{eqnarray*}$ kümmern. Und hier gehen die Probleme los. Wie soll ich vorgehen? Was mir hier zusätzlich zu schaffen macht ist, dass das x hier eine Konstante ist, die nicht einfach als eine Zahl dargestellt wird. Sollte grundsätzlich kein Problem sein, aber mich verwirrt es zusätzlich.
Zunächst hab ich es wie folgt probiert:

$\begin{eqnarray*} (x+h)^4-x^4 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=> x^4+2x^3h+4x^2h^2+2xh^3+h^4-x^4 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=> 2x^3h+4x^2h^2+2xh^3+h^4 = 0 \end{eqnarray*}$

Ist das schon der richtige Weg? Und wie geht es weiter?
Vermutlich irgendwie ausklammern, oder?

Vielen Dank schon mal vorab für die Hilfe!

19.03.2015, 23:27

Dopap

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zuerst solltest du $\begin{eqnarray*} (x+h)^4 \end{eqnarray*}$ richtig ausmultiplizieren.

Aber das macht den Kohl nicht fett. Der Zähler hat für h = 0 eine Nullstelle, doch leider steht dann auch Null im Nenner geschockt

und das geht nicht.

Der ganze Ausdruck sieht aber sehr nach der Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)= x^4 \end{eqnarray*}$ an der Stelle x aus. Oder etwa nicht ?

20.03.2015, 19:51

informer_85

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Hallo Dopap ,
vielen dank für deine Unterstützung. Ich muss leider zugeben, dass ich eine Teil der Funktion, die auf Nullstellen zu untersuchen ist unterschlagen habe (mangels Latex-Kenntnisse). Sorry, aber ich dachte das sei hier nicht so relevant. Die vollständige Funktion lautet:
$\begin{eqnarray*} f(h) = \begin{cases} \frac {(x+h)^4-x^4}{h} & h \geq 0 \\ 4x^3 & h = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

(x = const.)

Ich hoffe du kannst mir jetzt weiterhelfen mit den/der Nullstelle.

Ich kann leider nicht nachvollziehen (selbst bei der zuvor angegebenen Funktion) wie der Zähler Null werden soll, wenn h=0. Dann bleibt doch immer noch die die Konstante, sodass der Zähler nicht Null sein kann.

Die Lösung soll angeblich eine Nullstelle bei 2x sein.

Vielen Dank schon mal für die Unterstützung.

20.03.2015, 20:16

Dopap

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Zitat:

Original von informer_85

Ich kann leider nicht nachvollziehen (selbst bei der zuvor angegebenen Funktion) wie der Zähler Null werden soll, wenn h=0. Dann bleibt doch immer noch die die Konstante, sodass der Zähler nicht Null sein kann.

nein, $\begin{eqnarray*} (x+0)^4-x^4=x^4-x^4=0 \end{eqnarray*}$ ist schon richtig.

Ehrlich gesagt versteh' ich die Aufgabe nicht so richtig. verwirrt

Wer hilft weiter ?

20.03.2015, 20:22

10001000Nick1

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Erstmal solltest du überprüfen, ob du die Funktion richtig angegeben hast.
Das hier:

Zitat:

Original von informer_85
$\begin{eqnarray*} f(h) = \begin{cases} \frac {(x+h)^4-x^4}{h} & h \geq 0 \\ 4x^3 & h = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

macht nämlich für h=0 nicht so richtig viel Sinn. Soll in der oberen Zeile vielleicht $\begin{eqnarray*} h>0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} h\neq 0 \end{eqnarray*}$ stehen?

20.03.2015, 21:06

informer_85

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Ja, du hast recht.

So ist es richtig:

$\begin{eqnarray*} f(h) = \begin{cases} \frac {(x+h)^4-x^4}{h} & h \neq 0 \\ 4x^3 & h = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Also ungleich Null. Sorry für den Fehler.

20.03.2015, 21:09

10001000Nick1

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Du sollst jetzt also alle $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ finden mit $\begin{eqnarray*} f(h)=0 \end{eqnarray*}$ (in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ).

Dazu würde ich zwei Fälle unterscheiden: $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ .
Welche Nullstellen erhältst du für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ?

24.03.2015, 06:36

informer_85

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Aha, ich glaube ich hab es jetzt endlich:
Damit der Zähler Null wird, muss $\begin{eqnarray*} (x+h)^{4} = x^{4} \end{eqnarray*}$ sein.
Das ist nur bei h = -2x der Fall --> Es gibt genau eine Nullstelle. bei -2x
smile

24.03.2015, 12:31

10001000Nick1

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Naja, ein bisschen genauer erklären könnte man das schon: smile

$\begin{eqnarray*} (x+h)^4=x^4 \end{eqnarray*}$ gilt doch auch für $\begin{eqnarray*} h=0 \end{eqnarray*}$ . Wieso entfällt diese Lösung hier?
Und wie sieht es im Fall $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ aus?

24.03.2015, 16:57

informer_85

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OK, bei h = 0 sind wir ja automatisch beim unteren Funktionsterm. Bleibt also zu klären, was hier das Ergebnis ist, wenn h = 0 und gleichzeitig c = 0 ist. Da $\begin{eqnarray*} 4*0^3 = 0 \end{eqnarray*}$ , scheint die Funktion an dieser Stelle ebenfalls eine Nullstelle zu haben. Tja, in der Lösung ist aber nur -2x als Nullstelle angegeben!?
Ist diese (einzige) Lösung -2x dennoch richtig, weil -2x bei x=0 ebenfalls 0 ist? Oder gibt es hier 2 Nullstellen, eine bei -2x und die andere bei h=0 und c=0?

25.03.2015, 18:26

10001000Nick1

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Ich gehe mal davon aus, dass die c eigentlich x sein soll. Augenzwinkern

Zitat:

Original von informer_85
Ist diese (einzige) Lösung -2x dennoch richtig, weil -2x bei x=0 ebenfalls 0 ist?

Ja.

Zitat:

Original von informer_85
Oder gibt es hier 2 Nullstellen, eine bei -2x und die andere bei h=0 und c=0?

Wie du schon erkannt hast, sind für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ die Stellen $\begin{eqnarray*} h=-2x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h=0 \end{eqnarray*}$ dieselben; d.h. es gibt nur eine Nullstelle.

26.03.2015, 06:12

informer_85

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Ja, sollte natürlich x = 0 heißen.
Vielen Dank für die Hilfe!

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