stetige, surjektive Funktion, Topologie

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python_15 Auf diesen Beitrag antworten »
stetige, surjektive Funktion, Topologie
Meine Frage:
Hallo!
Ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:
Existiert eine stetige Funktion
(a)
(b)
die surjektiv ist?

Meine Ideen:
Ich kenne folgenden Satz:
Eine Funktion ist stetig genau dann, wenn das Urbild offener Mengen offen ist. Somit kann es in (a) keine stetige Funktion von einer abgeschlossenen Menge in eine offenen Menge geben.
Außerdem ist das Urbild abgeschlossener Mengen abgeschlossen, was auf (b) zutreffen würde. Habe aber keine Ahnung, wie ich da argumentieren soll, bitte um einen Hinweis...
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

deine Argumentation für (a) funktioniert nicht, weil offen bezüglich sich selbst ist.

Was für Sätze kennst du denn über stetige Funktionen auf kompakten Intervallen?
python_15 Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau bedeutet "offen bezüglich sich selbst"? Ist eine Menge nicht abgeschlossen, wenn die Menge gleich ihr Abschluss?
Wir hatten folgenden Satz:
Sei f stetig und ihre Definitionsmenge kompakt. Dann ist auch die Bildmenge kompakt.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Offenheit ist immer relativ. Für metrische Räume definiert man ja, dass eine Menge offen ist, wenn zu jedem Punkt der Menge noch ein kleiner Ball ganz in der Menge drin liegt. Was aber ist das für ein Ball?

Das ist die Menge aller Punkte einer Obermenge, die bezüglich dem Mittelpunkt des Balls höchstens einen festgelegten Abstand haben. Auf diese Obermenge kommt es an. Für das Offenheitskriterium stetiger Funktionen ist diese Obermenge der Definitionsbereich der Funktion.

Falls du schon etwas Ahnung von Topologie hast könnte man es so ausdrücken: Es kommt auf die Offenheit in der Relativtopologie von an, und dort ist natürlich offen.

Und ja, eine Menge ist abgeschlossen, wenn sie gleich ihrem Abschluss ist. ist hier offen und abgeschlossen.



Der Satz, den du zitiert hast, ist genau der richtige. Fällt dir dazu nicht etwas ein?
python_15 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das mit der Offenheit leuchtet ein, danke.

Also neuer Versuch:
Eine Menge ist kompakt genau dann, wenn A beschränkt und abgeschlossen ist.
In diesem Kontext ist abgeschlossen, und klarerweise auch beschränkt, also kompakt. Wenn es also eine stetige Funktion gäbe, dann müsste auch kompakt sein. Ist es aber nicht (da nicht abgeschlossen bzgl. R, bzw. gibt es Folgen im Intervall, die keine Teilfolge haben, die gegen eine Wert im Intervall konvergiert). Also kann es keine stetige Funktion geben.

Auch ist nicht kompakt und somit greift das gleiche Argument, richtig?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, geht so. Vergiss die Surjektivität im Argument aber nicht Augenzwinkern
 
 
python_15 Auf diesen Beitrag antworten »

Inwiefern brauche ich die Surjektivität im Argument? Wenn es keine stetige Funktion gibt, dann gibt es doch schon gar keine stetige und surjektive Funktion geben, oder verstehe ich das falsch? verwirrt
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach dann lag ich mit meiner Intuition doch richtig. Ich war mir aus dem was du geschrieben hast nicht ganz sicher, ob dir klar ist, wo Surjektivität eingeht.

Wir haben nicht, dass es keine stetige Funktion gibt, das sagt das Argument nicht. Man kann zum Beispiel immer eine konstante Funktion nehmen, die ist immer stetig. Wo also geht die Surjektivität ein?
python_15 Auf diesen Beitrag antworten »

Aaah...
Der Satz besagt: Wenn die Definitionsmenge ist, dann ist kompakt. Und die Funktion ist natürlich surjektiv.

Bei der Aufgabe also:
Angenommen, es gäbe eine stetige, surjektive Funktion . Dann wäre wegen der Surjektivität und nun greift der obige Satz!

Vielen Dank!!! Gott
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