Eigenwerte des Matrizenexponentials

20.03.2015, 16:08	Takirion	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte des Matrizenexponentials Hallo allerseits, in einem Skript, das ich für meinen Seminarvortrag zum Thema Matrizenexponential habe wird implizit behauptet, dass alle Eigenwerte des Matrizenexponentials $\begin{eqnarray} \exp(A):=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{A^{k} }{k!} \end{eqnarray}$ gegeben wären durch $\begin{eqnarray} \exp(\lambda_i) \end{eqnarray}$ mit Eigenwerten $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Explizit behauptet (und auch bewiesen) wird aber nur, dass wenn $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein Eigenvektor von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist, der mit dem Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ assoziiert ist, er auch ein Eigenwert von $\begin{eqnarray} \exp(A) \end{eqnarray}$ ist, welcher mit dem Eigenwert $\begin{eqnarray} \exp(\lambda_i) \end{eqnarray}$ assoziiert ist. Sind alle Eigenwerte von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ reell und verschieden, so ist klar, dass daraus auch die erste Aussage folgt. Was ist aber im Falle komplexer, oder gleicher Eigenwerte? Ich muss gestehen, dass Eigenwerte bei mir bisher nicht dran waren, sodass es sein kann dass die Antwort äußerst trivial ist (und so fühlt sie sich auch an). Alle bisherigen Versuche das zu fixen haben jedoch nicht funktioniert (beispielsweise nicht Eigenwerte sondern Dimension des Spanns aller Eigenvektoren zu zählen, aber da man ja schon zwischen algebraischer und geometrischer Vielfachheit unterscheidet scheint das auch nicht zu klappen). Vielen Dank schomal
20.03.2015, 17:10	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte des Matrizenexponentials Ich sehe nicht wie komplexe Eigenwerte problematisch sind. Aber ich würde wie folgt vorgehen: Falls $\begin{eqnarray} A \in \mathbb C^{n \times n} \end{eqnarray}$ eine obere Dreiecksmatrix ist, so ist auch $\begin{eqnarray} \exp(A) \end{eqnarray}$ eine obere Dreiecksmatrix, mit der Diagonalen $\begin{eqnarray} ( \exp(a_{11}), \dots, \exp(a_{nn})) \end{eqnarray}$ . Und für Dreiecksmatrizen sind die Diagonaleinträge eben die Eigenwerte. Nun ist nicht jede Matrix eine obere Dreiecksmatrix, aber wenigstens ähnlich dazu -- und exp verträgt sich gut mit Ähnlichkeit.
21.03.2015, 13:32	Takirion	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, komplexe Eigenwerte werden problematisch, wenn eine Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ beispielsweise die Eigenwerte $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1+2\pi i \end{eqnarray}$ hat. $\begin{eqnarray} \exp(A) \end{eqnarray}$ hat dann die Eigenwerte $\begin{eqnarray} \exp(1)=e=\exp(1+2\pi i) \end{eqnarray}$ und aus meiner Sicht ist á priori nicht klar, dass dieser Wert $\begin{eqnarray} \exp(A) \end{eqnarray}$ von zwei verschiedenen algebraischen Nullstellen im CP von $\begin{eqnarray} \exp(A) \end{eqnarray}$ kommt. Dein Ansatz sieht aber recht vielversprechend aus. Ich nehme mal an, dass ähnliche Matrizen gleiche Eigenwerte haben? In diesem Fall kann man hier zu machen, falls nicht bräuchte ich weitere Erläuterungen. Vielen Dank
21.03.2015, 13:42	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu den komplexen Eigenwerten: Ich vermutete schon, dass du so etwas gedacht hast. Allerdings ist die Injektivität von exp nicht wichtig. Beachte, dass die Eigenvektoren gleich bleiben und nicht ebenfalls exponenziert werden (was das auch für diese heißen mag). D.h. wenn du 2 komplexe Eigenwerte hast, bekommst du automatisch 2 "verschiedene" Eigenvektoren. Auch wenn diese 2 Eigenwerte zu einem zusammenfallen, so hast du immer noch die 2 immernoch verschiedenen Eigenvektoren. D.h. die algebraische Vielfalt ist tatsächlich (mindestens 2). Und ja, ähnliche Matrizen haben gleiche Eigenwerte. Um das zu zeigen, kannst du zeigen, dass das charakteristische Polynom für beide übereinstimmen. (Ist ein Einzeiler, und würde ich erst einmal dir überlassen.)
21.03.2015, 15:55	Takirion	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber soweit ich das verstanden habe hat der Spann der Eigenvektoren einer nxn Matrix nicht notwendigerweise Dimension n (oder warum unterscheidet man sonst zwischen algebraischer und geometrischer Vielfachheit eines Eigenwertes). Das heißt wenn wir die (n-1) linear unabhängigen Eigenvektoren einer nxn Matrix betrachten finden wir auch nur (n-1) Eigenvektoren im entsprechenden Exponential. Da grundsätzlich n linear unabhängige EV möglich sind gibt es erstmal keine Garantie, dass da nicht noch einer hinzugekommen ist.
21.03.2015, 16:10	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Das hast du richtig verstanden. Meine Argumentation bezog sich gerade nur darauf, dass deine Argumentation am Anfang kein Problem mit komplexen Eigenwerten hat. Sie hat aber genau das Problem am möglichen Mangel an Eigenvektoren, weswegen ich ja einen anderen Ansatz vorgeschlagen habe
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21.03.2015, 16:31	Takirion	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, wunderbar. Dann kann hier endgültig zu gemacht werden

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