Gleichmäßige Stetigkeit

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python_15 Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Stetigkeit
Meine Frage:
Hallo!

Ich bräuchte bitte Hilfe bei folgender Aufgabe.
Sind folgende Funktionen gleichmäßige stetig?
(a)
(b)

Meine Ideen:
(a) habe ich folgendermaßen gelöst:
Wähle , und sei
.
Damit folgt:
.

Und damit findet man zu jedem Delta zwei Punkte x und y wie angegeben, sodass die Verneinung der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit gilt, und damit ist der ln auf diesem Intervall nicht gleichmäßig stetig. Ich hoffe, das stimmt so.

Das Problem liegt nun bei (b). Ich habe leider keine Ahnung, wie ich das angehen soll.
Vielleicht hat jemand einen Hinweis...
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Stetigkeit
a) passt so.

Bei b) wirft man üblicherweise einen Satz aus der Vorlesung drauf. Sollte Schlüsselwörter wie "stetig" und "kompakte Menge" enthalten Augenzwinkern
python_15 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Stetigkeit
Aaah, den hab ich leider völlig übersehen...
Du meinst folgenden, oder?
Sei stetig und D kompakt. Dann ist f gleichmäßig stetig.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Stetigkeit
Exakt den Satz! Ich würde sogar lieber diesen Satz zeigen als die b) per Hand zu machen.
python_15 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Stetigkeit
Vielen Dank!
python_15 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Stetigkeit
Sorry, habe noch eine Frage zum Thema bei einer anderen Aufgabe:
Zeige, dass
stetig, aber nicht gleichmäßig stetig ist. Finde eine geeignete Einschränkung des Definitionsbereichs, sodass f gleichmäßig stetig ist.
Die Stetigkeit eines Polynoms wurde ja in der Vorlesung bewiesen. Wie allerdings zeige ich, dass f nicht gleichmäßig stetig ist? Habe es sowohl mit der Folgencharakterisierung als auch mit der Epsilon-Delta-Definition versucht, bekomme die Abschätzung allerdings nicht hin. Will ich es etwa wieder zu kompliziert machen?
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Stetigkeit
Es läuft ziemlich direkt darauf hinaus, dass nicht gleichmäßig stetig ist. Du kannst so vorgehen wie eben, sei (der genaue Wert spielt wie vorher keine wirkliche Rolle, weil es sehr ungleichmäßig wächst und man absolut jedes epsilon wählen kann.)

Jetzt willst du, dass x,y sehr nahe beinander sind, f(x), f(y) aber weit weg. D.h. man könnte sogar den Ansatz wähle. Also: Für beliebig kleines h > 0, findest du ein x s.d. ?
python_15 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Stetigkeit
Meinst du das jetzt für deine neue Funktion oder für die ursprüngliche?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Stetigkeit
Ich meinte es für die eindimensionale Quadratische. Wenn du diese verstanden hast, kannst du es leicht zu einem Paar x,y für die Originalgleichung erweitern.
python_15 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Stetigkeit
Ok, anbieten würde sich denke ich folgendes:
. Damit ergibt sich:


Und jetzt muss ich noch das h geschickt wählen, damit sich das delta wegkürzt:


Korrekt?
python_15 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Stetigkeit
Und das ganze fürs Zweidimensionale:

für h wie oben.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Stetigkeit
Von der Idee ja, die Umsetzung ist leider unsauber geworden. Du willst erst dein h (was das gleiche wie delta ist) wählen, und dann das x.

Momentan ist das bei dir etwas chaotisch was von was abhängt.
python_15 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Stetigkeit
Ok, nochmal:
. Somit folgt:

Das war jetzt das, was ich gemeint habe.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Stetigkeit
Ok, dann passt das Freude

Bei der anderen Aufgabe wäre es einfacher gewesen
zu nehmen.

Man ignoriert einfach den anderen Term, weil man weiß, dass der quadratische Term bereits ausreicht.

Insbesondere wichtig ist, dass bei dir ist, weil du in beiden Komponenten störst. Darauf muss man dann achten.
python_15 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Stetigkeit
Ok, klar soweit.
Wenn ich nun den Definitionsbereich einschränke, sodass er kompakt ist , dann könnte ich ja obigen Satz anwenden und die Funktion wäre gleichmäßig stetig, richtig?
Wieso klappt dann aber die "Gegenargumentation" aus dem letzten Beitrag nicht mehr?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Stetigkeit
Tut mir Leid, war gerade beschäftigt.

Und ja, das ist dann gleichmäßig stetig. Und die Frage kannst du selbst beantworten, wenn du dir anguckst wo die x,y liegen die wir uns vorher gewählt haben (Das Delta wird klein!).
python_15 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Stetigkeit
Ok, dann fällt man für sehr kleine Delta natürlich aus der Menge.
Vielen Dank für deine Hilfe!!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Stetigkeit
Gerne Wink
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