Beschränkte Mengen im metrischen Raum

20.03.2015, 17:29

StrunzMagi

Beschränkte Mengen im metrischen Raum

Warum ist die Vereinigung von endlichen vielen beschränkten Mengen im metrischen Raum wieder beschränkt?

Hallo,
Es sei $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ ein metrischer Raum:
$\begin{eqnarray*} A \subseteq X \end{eqnarray*}$ ist beschränkt $\begin{eqnarray*} \iff \exists r>0 \exists z \in X: A\subseteq B_r (z) \end{eqnarray*}$
Für unseren Fall haben wir $\begin{eqnarray*} U_i, 1\le i \le n \end{eqnarray*}$ beschränkte Teilmengen von r: $\begin{eqnarray*} \exists r_i>0 ,z_i \in X: U_i \subseteq B_{r_i} (z_i) \forall 1\le i \le n \end{eqnarray*}$
Wie finde ich nun das passende $\begin{eqnarray*} r>0,z\in X \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} \bigcup_{i=1}^n U_i \subseteq B_r(z) \end{eqnarray*}$ ?
Ich hätte dazu noch die Frage: Gilt das auch für eine unendliche viele beschränkte Mengen?

Liebe Grüße

20.03.2015, 17:35

10001000Nick1

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Zeige, dass deine Definition von Beschränktheit äquivalent ist zu
$\begin{eqnarray*} \exists r>0: A\subseteq B_r(0) \end{eqnarray*}$ .
Das sollte dir für den Beweis weiterhelfen.

Und: Vereinigungen von unendlich vielen beschränkten Mengen müssen nicht beschränkt sein (da findet man ganz einfache Gegenbeispiele).

20.03.2015, 17:37

IfindU

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@Nick. Nimm lieber irgendein Element aus X, die 0 muss nämlich nicht in X sein Augenzwinkern

20.03.2015, 17:40

10001000Nick1

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Meinte ich doch. Augenzwinkern

Danke für den Hinweis.

22.03.2015, 12:31

StrunzMagi

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Hallo,
Ihr meint die Bedingung $\begin{eqnarray*} \exists r_i>0, \exists z_i \in X : U_i \subseteq B_{r_i} (z_i) \forall 1\le i \le n \end{eqnarray*}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \exists \overline{r_i}, \exists z \in X: U_i \subseteq B_{\overline{r_i}} (z) \forall 1\le i \le n \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ trivial ist. Leider hab ich den Beweis $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ nicht hinbekommen. Könntet ihr mir da nochmals helfen wie ich z wählen soll, innerhalb eine der U_i??

Liebe Grüße

22.03.2015, 14:00

10001000Nick1

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Das $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ist irgendein beliebiges (aber festes) Element aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , die Kugeln mit Radius $\begin{eqnarray*} \overline{r_i} \end{eqnarray*}$ haben alle denselben Mittelpunkt, nämlich $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ .
Die Quantorenkette müsste also so aussehen:
"Sei $\begin{eqnarray*} z\in X \end{eqnarray*}$ beliebig, aber fest. Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \forall i\in\{1,...,n\}\exists \overline{r_i}>0: U_i \subseteq B_{\overline{r_i}} (z) \end{eqnarray*}$ ." (Beachte, dass der Allquantor für die i ganz am Anfang stehen muss.)

Diese Äquivalenz besagt also: Wenn man jede der Mengen $\begin{eqnarray*} U_i \end{eqnarray*}$ mit einer Kugel überdecken kann (mit beliebigem Mittelpunkt), dann kann man die $\begin{eqnarray*} U_i \end{eqnarray*}$ auch mit Kugeln überdecken, die alle denselben Mittelpunkt haben (und umgekehrt).

Zum Beweis: Benutze die Dreiecksungleichung.

22.03.2015, 16:14

StrunzMagi

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Aber die in der Vorlesung besprochene Bedingung: $\begin{eqnarray*} \exists r_i>0, \exists z_i \in X : U_i \subseteq B_{r_i} (z_i) \forall 1\le i \le n \end{eqnarray*}$ Sagt doch, dass es ein $\begin{eqnarray*} z_i \end{eqnarray*}$ existiert, dass der MP ist und nicht, dass man den Mittelpunkt beliebig wählen kann.
Da du ja schreibst, dass man jede der Mengen $\begin{eqnarray*} U_i \end{eqnarray*}$ mit einer Kugel überdecken kann (mit beliebigem Mittelpunkt). Aber hier ist kein Allquantor vor den $\begin{eqnarray*} z_i \end{eqnarray*}$ !

Liebe Grüße

22.03.2015, 16:33

10001000Nick1

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Zitat:

Original von StrunzMagi
Aber die in der Vorlesung besprochene Bedingung: $\begin{eqnarray*} \exists r_i>0, \exists z_i \in X : U_i \subseteq B_{r_i} (z_i) \forall 1\le i \le n \end{eqnarray*}$ Sagt doch, dass es ein $\begin{eqnarray*} z_i \end{eqnarray*}$ existiert, dass der MP ist und nicht, dass man den Mittelpunkt beliebig wählen kann.

Und ich habe gesagt, dass du beweisen kannst, dass es egal ist, welchen Mittelpunkt man wählt.

Was du danach sagen willst, verstehe ich nicht wirklich.

Also nochmal:
Du hast oben deine Definition von Beschränktheit hingeschrieben:

Zitat:

Original von StrunzMagi
$\begin{eqnarray*} A \subseteq X \end{eqnarray*}$ ist beschränkt $\begin{eqnarray*} \iff \exists r>0 \exists z \in X: A\subseteq B_r (z) \end{eqnarray*}$

Und davon ausgehend kannst du zeigen, dass folgendes gilt:
"Sei $\begin{eqnarray*} z\in X \end{eqnarray*}$ (fest) und $\begin{eqnarray*} A\subseteq X \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ genau dann beschränkt, wenn es ein $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} A\subseteq B_r(z) \end{eqnarray*}$ ."
Mit Quantoren würde diese Aussage so aussehen: $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist beschränkt $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow\forall z\in X\ \exists r>0: A\subseteq B_r(z) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt klarer? smile

23.03.2015, 17:23

StrunzMagi

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Ja jetzt hat es Klick gemacht. Danke für deine Geduld:

Behauptung: A beschränkt $\begin{eqnarray*} \iff \forall z \in X \exists s>0: A\subseteq B_s(z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leftarrow \end{eqnarray*}$ klar
$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ Sei $\begin{eqnarray*} z \in X \end{eqnarray*}$ beliebig aber fest. Da A beschränkt ist $\begin{eqnarray*} \exists r>0: \exists \overline{z} \in X: A\subseteq B_r(\overline{z}) \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ beliebig: $\begin{eqnarray*} d(z,a)\le d(z,\overline{z})+d(\overline{z},a) \le d(z, \overline{z})+r \end{eqnarray*}$
Wähle also $\begin{eqnarray*} s:=d(z, \overline{z})+r \end{eqnarray*}$

Für das Bsp. vom Anfang:
$\begin{eqnarray*} U_i, 1\le i \le n \end{eqnarray*}$ beschränkte Teilmengen in MR, d.h. nach obigen: Sei $\begin{eqnarray*} z_0 \in X \end{eqnarray*}$ beliebig aber fest: $\begin{eqnarray*} \exists r_i>0: U_i \subseteq B_{r_i} (z_0) \forall 1 \le i \le n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r:=max\{r_i, i \in I\} \Rightarrow \bigcup_{i=1}^n U_i \subseteq B_r (z_0) \end{eqnarray*}$

Ist das so ok?
Liebe Grüße

23.03.2015, 17:36

10001000Nick1

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Zitat:

Original von StrunzMagi
$\begin{eqnarray*} r:=max\{r_i, i \in \textcolor{red}{I}\} \Rightarrow \bigcup_{i=1}^n U_i \subseteq B_r (z_0) \end{eqnarray*}$

Wenn du das noch korrigierst, dann würde ich sagen: Perfekt. Freude

Weißt du auch, an welcher Stelle der Beweis schief geht, wenn man unendlich viele beschränkte Mengen vereinigt?

23.03.2015, 19:06

StrunzMagi

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Ich hab mir nur ein Gegenbeispiel überlegt:
$\begin{eqnarray*} X=\mathbb{R}, K_n= [-n,n], \bigcup_{n\in\mathbb{N}} K_n = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nicht beschränkt bezüglich Betrag

Aber wo genau dass sich am vorigen Beweis aufgängt sehe ich noch nicht..

23.03.2015, 20:03

10001000Nick1

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Dein Beispiel passt.

Im Beweis scheitert es an der Definition von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ :
Du hast oben definiert: $\begin{eqnarray*} r:=\max\{r_i\ |\ 1\leq i\leq n\} \end{eqnarray*}$ (jedenfalls meintest du das sicherlich; geschrieben hast du aber $\begin{eqnarray*} i\in I \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

).
Wenn man jetzt unendlich viele Mengen vereinigt, müsste man da das Maximum einer unendlichen Menge reeller Zahlen bilden, und das existiert nicht immer.

In deinem Beispiel würde das so aussehen: Wenn wir $\begin{eqnarray*} z_0=0 \end{eqnarray*}$ wählen und $\begin{eqnarray*} r_i=i+1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} K_i\subseteq B_{r_i}(z_0) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \max\{r_i\ |\ i\in\mathbb{N}\}=\max\{i+1\ |\ i\in\mathbb{N}\} \end{eqnarray*}$ existiert aber nicht.

24.03.2015, 10:47

StrunzMagi

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Vielen Dank für die Erklärung!
Hab einen schönen Dienstag,
Liebe Grüße

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