Pyramide mit größtem Volumen

21.03.2015, 10:41

galag

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Pyramide mit größtem Volumen

Aus einem quadratischen Karton mit 10cm Seitenlänge soll das Netz einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche und größtem Volumen gebastelt werden. Bestimme die Maße der Pyramide.
Ich versuche es schon so oft aber komme einfach nicht darauf wie es gehen kann traurig

traurig

21.03.2015, 10:59

riwe

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RE: Pyramide mit größtem Volumen
wenn´s so gemeint ist, sollte es nicht allzu unlösbar sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.03.2015, 11:04

galag

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RE: Pyramide mit größtem Volumen
Ich habe das Bild jetzt erstellt wie es im Buch aussieht.
[attach]37544[/attach]

21.03.2015, 11:45

riwe

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RE: Pyramide mit größtem Volumen
das ist eh dasselbe smile

smile

dann schau dir doch mein Bilderl einmal genauer an, da findest du doch die Nebenbedingung.
die Formel für das Pyramidenvolumen wirst du ja hoffentlich wissen verwirrt

verwirrt

21.03.2015, 11:49

galag

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RE: Pyramide mit größtem Volumen
Ja die Pyramidenformel ist ja $\begin{eqnarray*} V= (a^2*h)/3 \end{eqnarray*}$

Wenn ich mir die Bilder so ansehe könnte ich ja mit dem Pythagoras arbeiten oder? verwirrt

verwirrt

21.03.2015, 12:13

riwe

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RE: Pyramide mit größtem Volumen

Zitat:

Original von galag
Ja die Pyramidenformel ist ja $\begin{eqnarray*} V= (a^2*h)/3 \end{eqnarray*}$

Wenn ich mir die Bilder so ansehe könnte ich ja mit dem Pythagoras arbeiten oder? verwirrt

verwirrt

das Volumen stimmt.
wozu brauchst du den Pythagoras verwirrt

verwirrt

Nebenbedingung: h + a + h = verwirrt

verwirrt

siehe Bild

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21.03.2015, 12:18

galag

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RE: Pyramide mit größtem Volumen
Das heißt dann
ZF => $\begin{eqnarray*} V= (a^2*h)/3 \end{eqnarray*}$
NB => $\begin{eqnarray*} a+h+h=10 => a=10-2h \end{eqnarray*}$

Dann muss ich ja die NB in die ZF einsetzen und die Ableitung davon machen.
Ich hoffe es stimmt

21.03.2015, 12:48

riwe

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RE: Pyramide mit größtem Volumen
entschuldige, da oben steht BLÖDSINN:
das ist ja die Höhe des 3ecks,
du hast recht: da mußt du die PYRAMIDENHÖHE mit dem Pythagoras bestimmen und dann natürluch ableiten
Gott

Gott

Gott

Gott

21.03.2015, 12:52

galag

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RE: Pyramide mit größtem Volumen
Und wie geht das dann mit dem Pythagoras?
Ich verzweifle immer an diesen Extremwertaufgaben und komme fast nie auf die NB traurig

traurig

21.03.2015, 14:06

sulo

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RE: Pyramide mit größtem Volumen

Zitat:

Original von galag
Das heißt dann
ZF => $\begin{eqnarray*} V= (a^2*h)/3 \end{eqnarray*}$
NB => $\begin{eqnarray*} a+h+h=10 => a=10-2h \end{eqnarray*}$

Dann muss ich ja die NB in die ZF einsetzen und die Ableitung davon machen.

Du solltest beachten, dass du bei der Volumengleichung die Körperhöhe mit h bezeichnet hast, bei der NB ist h jedoch die Höhe über der Seite (eigentlich: hs).

Der Pythagoras gibt dir das Verhältnis von Körperhöhe h zu Seitenhöhe hs mit Hilfe der halben Seitenlänge (a/2).

In diesem Fall brauchst du also 2 NBs, weil du 3 Variablen hast.

smile

smile

21.03.2015, 14:12

galag

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RE: Pyramide mit größtem Volumen
Das würde heißen, dass eine NB die Formel für $\begin{eqnarray*} h_a \end{eqnarray*}$ wäre und die andere die Formel der Seitenkante $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ , aber mit $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$
Ich hoffe ich habe das richtig verstanden smile

smile

21.03.2015, 14:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von galag
Ich habe das Bild jetzt erstellt wie es im Buch aussieht.
[attach]37544[/attach]

Wenn das per diesem Bild so vorgegeben ist, dann musst du es so machen.

Ansonsten könnte man aber aus dem quadratischen Karton noch mehr Volumen rausholen, wenn man das Schnittmuster um 45 Grad dreht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.03.2015, 14:20

sulo

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RE: Pyramide mit größtem Volumen
Die Seitenkante s lassen wir lieber aus dem Spiel. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wir haben: ZF => $\begin{align*} V= \frac{a^2*h}{3} \end{align*}$

Wir müssen in der ZF eine der Variablen ersetzen. Ich bin noch am rumprobieren, ob h oder a², beides ist nicht so schön...

Weiterhin haben wir: NB => $\begin{align*} a+h_s+h_s=10 \Rightarrow a = 10 - 2h_s \end{align*}$

Und wir brauchen den Phythagoras, um den Zusammenhang zwischen h und hs zu haben, denn obige NB bringt uns die dritte Variable, nämlich hs, ins Spiel.

smile

smile

21.03.2015, 14:27

sulo

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Ich denke, wir sollten h ersetzen.

Zitat:

Original von HAL 9000
Wenn das per diesem Bild so vorgegeben ist, dann musst du es so machen.

Ansonsten könnte man aber aus dem quadratischen Karton noch mehr Volumen rausholen, wenn man das Schnittmuster um 45 Grad dreht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Guter Kniff. Freude

Freude

Wir können gerne beide Varianten durchrechnen.

smile

smile

21.03.2015, 14:30

galag

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RE: Pyramide mit größtem Volumen
Die Formel für $\begin{eqnarray*} h_s \end{eqnarray*}$ lautet ja:

$\begin{eqnarray*} h_s=\sqrt{h^2+(a/2)^2} \end{eqnarray*}$

Müsste ich diese Formel dann auf $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ umformen oder wie? verwirrt

verwirrt

21.03.2015, 14:33

galag

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RE: Pyramide mit größtem Volumen
Wenn man die Schnittform um 45° dreht kann man ja mit den Diagonalen arbeiten oder?

21.03.2015, 14:37

sulo

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RE: Pyramide mit größtem Volumen
Ich würde erst mal auf die Wurzel verzichten: $\begin{align*} h_s^2=h^2+\left(\frac {a}{2}\right)^2 \end{align*}$

Ja, wenn man das Netz um 45° dreht, kommt die Diagonale der Grundfläche ins Spiel.
Es ist dann halt eine andere Aufgabe.
Eine typische Aufgabenstellung für die gedrehte Version lautet übrigens:

Zitat:

Aus einem quadratischen Karton von 10 cm Seitenlänge werden vier kongruente, gleichschenklige Dreiecke, deren Grundseiten die Quadratseiten sind, so heraus geschnitten, dass das Netz einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche übrig bleibt.
Wie lang ist die Grundkante der Pyramide zu wählen, damit das Volumen der Pyramide ein Maximum wird?

Ich gehe aber davon aus, das dies nicht der Text zu deiner Aufgabe ist, denn dann würde die angegebene Zeichnung keinen Sinn machen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.03.2015, 14:40

HAL 9000

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Da hab ich ja was angerichtet mit meinem Einwurf - Entschuldigung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von galag
Wenn man die Schnittform um 45° dreht kann man ja mit den Diagonalen arbeiten oder?

Es ist fast dieselbe Rechnung, nur mit NB $\begin{align*} a+2h=10\sqrt{2} \end{align*}$ statt $\begin{align*} a+2h=10 \end{align*}$ .

Wenn man wirklich beide Modelle betrachten will, kann man gleich von vornherein mit NB $\begin{align*} a+2h=s \end{align*}$ arbeiten und $\begin{align*} s \end{align*}$ zunächst variabel halten. Es ist keine Überraschung, dass am Ende der Rechnung $\begin{align*} s \end{align*}$ keinen Einfluss auf das optimale Verhältnis $\begin{align*} h:a \end{align*}$ haben wird. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.03.2015, 14:42

galag

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RE: Pyramide mit größtem Volumen
Ja das stimmt smile

smile

Ja dann hab ich $\begin{eqnarray*} h_s^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$
Als nächstes würde ich $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} h_s^2 \end{eqnarray*}$ einsetzen
Ich hoffe ich irre mich mit meinem Gedanken nicht ^^

21.03.2015, 14:52

sulo

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RE: Pyramide mit größtem Volumen

Zitat:

Original von galag
Als nächstes würde ich $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} h_s^2 \end{eqnarray*}$ einsetzen

Ich denke, du meinst es so, dass du das hs² durch die nach hs umgestelle HB ersetzen wirst, so dass du statt hs² einen (quadrierten) Ausdruck mit a hast.

Dazu musst du die oben nach a umgestellte NB erst noch nach h_s umstellen: $\begin{align*} a+h_s+h_s=10 \Rightarrow h_s = ... \end{align*}$

smile

smile

21.03.2015, 14:59

galag

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RE: Pyramide mit größtem Volumen
Die nach hs umgestellte HB?
Das verwirrt mich jetzt

Ich wollte eigentlich a=10-2hs in die Formel für hs einsetzen, damit ich nur noch h und hs habe, was doch irgenwie unnötig wäre

21.03.2015, 15:11

sulo

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RE: Pyramide mit größtem Volumen

Zitat:

Original von galag
Die nach hs umgestellte HB?
Das verwirrt mich jetzt

Ich hoffe, dass "HB" ein Tippfehler ist, die NB sollte nach hs umgestellt werden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von galag
Ich wollte eigentlich a=10-2hs in die Formel für hs einsetzen, damit ich nur noch h und hs habe, was doch irgenwie unnötig wäre

Wir sollten auf jeden Fall das hs eliminieren, das brauchen wir nämlich gar nicht für die ZF.
Und das hs wird mit Hilfe der NB entfernt.

Ich hatte ja gesagt, dass wir in der ZF das h ersetzen sollten, wir behalten nur a als Variable.

Und um dies zu erreichen, stellen wir diese Gleichung nach h² umd und ersetzen dann das hs² durch einen Ausdruck mit a.

$\begin{align*} h_s^2=h^2+\left(\frac {a}{2}\right)^2 \Rightarrow h^2 = .... \end{align*}$

Auf diese Weise haben wir das h durch a ausgedrückt und können die ZF nur mit der Variablen a schreiben.

Ist etwas verwirrend, ich hoffe, dass du das nachvollziehen kannst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.03.2015, 15:28

galag

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RE: Pyramide mit größtem Volumen
Ich habs geschafft Tanzen

Tanzen

Da muss man mal darauf kommen smile

smile

Vielen Dank für die Hilfe

21.03.2015, 15:30

sulo

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RE: Pyramide mit größtem Volumen
Freut mich. Freude

Freude

Wie groß ist denn dein gefundenes a?

21.03.2015, 15:32

galag

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RE: Pyramide mit größtem Volumen
a=4cm
und V= 11.93 cm^3

21.03.2015, 15:34

sulo

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RE: Pyramide mit größtem Volumen
Wunderbar, das kann ich bestätigen. Freude

Freude

smile

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