Potentialfeld aus Vektorfeld bestimmen

21.03.2015, 18:17

fontsix

Potentialfeld aus Vektorfeld bestimmen

Gegeben ist das folgende Vektorfeld.

$\begin{eqnarray*} \vec{F}(x;y;z)=\begin{pmatrix} 2xz+y^{2} \\ 2xy \\ x^{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mittels Rotation stelle ich fest, dass das Vektorfeld wirbelfrei ist.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial y} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2xz+y^{2} \\ 2xy \\ x^{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0-0 \\ 2x-2x \\ 2y-2y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daher muss also ein Potentialfeld existieren. Dieses bestimme ich

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \phi}{\partial x} = \int (2xz+y^{2}) dx=\phi=x^{2}z+xy^{2}+C_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \phi}{\partial y} = \int (2xy) dy=\phi=xy^{2}+C_{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \phi}{\partial z} = \int (x^{2}) dz=\phi=x^{2}z+C_{3} \end{eqnarray*}$

Der letzte Schritt zum Aufstellen der Gleichung für das Potentialfeld ist mir allerdings nicht ganz klar. Welche der 3 Gleichungen führen denn letztendlich zur folgenden Potentialfeldgleichung? Was muss man dort beachten?

$\begin{eqnarray*} \phi=xy^{2}+x^{2}z+C \end{eqnarray*}$

21.03.2015, 20:46

Che Netzer

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RE: Potentialfeld aus Vektorfeld bestimmen

Zitat:

Original von fontsix
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \phi}{\partial x} = \int (2xz+y^{2}) dx=\phi=x^{2}z+xy^{2}+C_{1} \end{eqnarray*}$

Der Anfang mit $\begin{eqnarray*} \frac{\partial\phi}{\partial x} \end{eqnarray*}$ ist hier natürlich fehl am Platz.

Zitat:

Welche der 3 Gleichungen führen denn letztendlich zur folgenden Potentialfeldgleichung?

Alle.

Zitat:

Was muss man dort beachten?

Vor allem, dass $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ nur eine "Konstante in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ " ist, aber durchaus von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ abhängen darf.
Als Anleitung könnte man sagen: Schreibe alle auftretenden Terme in das Potential.
Wenn ein Term bei zwei Integralen auftaucht, nimmt man ihn aber nur einmal.

Hier wäre z.B. $\begin{eqnarray*} C_2=C_2(x,z)=x^2z \end{eqnarray*}$ möglich.

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