Abstand eines Punktes von einer Geraden (keine Vektorrechnung)

21.03.2015, 19:16

FaithNoMore

Abstand eines Punktes von einer Geraden (keine Vektorrechnung)

Meine Frage:
Hallo, Folgendes muss ich lösen:

Eine Gerade schneidet die x-Achse bei x=4 und die y-Achse bei y=3.
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden.
b) Unter welchen Winkel schneidet die Gerade die positive r-Achse?
c) Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P6(6;4) von dieser Geraden.

Meine Ideen:
Nun liegt das eigentliche Problem nur bei c).

Für a) habe ich die Abschnittsgleichung aufgestellt $\begin{eqnarray*} \frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1 \end{eqnarray*}$ . Das ist in der Normalform dann $\begin{eqnarray*} y=-\frac{3}{3}x+3 \end{eqnarray*}$

b) Der Winkel beträgt für $\begin{eqnarray*} arctan(-\frac{3}{4})=-36,87° \rightarrow \alpha= 180°-36,87°=143,13° \end{eqnarray*}$

(Ich mache diese Angaben, falls sie für c) von Wichtigkeit sein sollten.)
So, und nun stehe ich vor Aufgabe c). Und ich habe schon die Tiefen des Internets durchforstet sowieso meine Formelsammlung, aber nichts will mir helfen, diesen Abstand bestimmen zu können? unglücklich

Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

21.03.2015, 19:24

Mathema

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Wie wird dann der Abstand eines Punktes von einer Geraden gemessen?

21.03.2015, 19:39

FaithNoMore

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Wenn Du von "messen" sprichst, meinst Du wahrscheinlich die Berechnung des Betrags $\begin{eqnarray*} c=\sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$ ?
Ich habe auch eine Skizze angefertigt und laut dieser ist mein Abstand vom Punkt am kürzesten, wenn ich ihn senkrecht auf meine Gerade zulaufen lasse (logischerweise).

21.03.2015, 19:42

Mathema

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Zitat:

Ich habe auch eine Skizze angefertigt und laut dieser ist mein Abstand vom Punkt am kürzesten, wenn ich ihn senkrecht auf meine Gerade zulaufen lasse (logischerweise).

Na - so ist der Abstand doch überhaupt definiert (daher meine Frage, wie du messen würdest). Wir brauchen also eine senkrechte Gerade, die durch deinen Punkt P(6|4) verläuft. Kannst du dafür die Funktionsgleichung bestimmen?

21.03.2015, 21:16

FaithNoMore

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Das wäre die Normale $\begin{eqnarray*} y=\frac{4}{3}x-4 \end{eqnarray*}$ ...
ich habe das Gefühl, es hätte schon längst Klick bei mir machen müssen. Das bleibt bisher immer noch aus... Hammer

21.03.2015, 22:57

Mathema

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Sorry - hatte ganz übersehen, dass du geantwortet hast.

Ja - das passt doch. Nun brauchen wir also unseren Lotfußpunkt, das ist der Schnittpunkt der beiden Geraden. Also gleichsetzen und die Koordinaten berechnen.

22.03.2015, 09:02

FaithNoMore

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Also, die Koordinaten wären $\begin{eqnarray*} P_1=(\frac{112}{9}/ -\frac{19}{3}) \end{eqnarray*}$
Dann den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{P_0P_1} \end{eqnarray*}$ der beiden Punkte $\begin{eqnarray*} (\frac{58}{9}/ -\frac{31}{8}) \end{eqnarray*}$
Das eingesetzt in $\begin{eqnarray*} d = \sqrt{(\frac{58}{9})^2+(\frac{31}{8})^2}=12.18 \end{eqnarray*}$

Ich habe gestern Abend noch die Musterlösung zu den Aufgaben gefunden.

[attach]37552[/attach]

Und aus irgendeinem Grund stimmt meine Lösung ganz und gar nicht zur Lösung? unglücklich

22.03.2015, 10:59

Mathema

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Guten Morgen. Du hast dich verrechnet. Ohne Rechnung kann ich leider nicht nachvollziehen wo.

$\begin{eqnarray*} -\frac{3}{4}x+3=\frac{4}{3}-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 7=\frac{25}{12}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{84}{25} \end{eqnarray*}$

Und somit $\begin{eqnarray*} y=\frac{12}{25} \end{eqnarray*}$ .

Mit P(6|4) und L( $\begin{eqnarray*} \frac{84}{25}|\frac{12}{25} \end{eqnarray*}$ ) sowie Abstand $\begin{eqnarray*} d:=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \end{eqnarray*}$ folgt der gewünschte Abstand.

22.03.2015, 11:34

FaithNoMore

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Ach man, ja ich habe meinen doofen Fehler gefunden. unglücklich

Natürlich kommt dieses Ergebnis heraus. Entschuldige. Und jetzt fällt es mir auch wie Schuppen von den Augen, dass das hier noch reiner Schulstoff war und ich das peinlicherweise bereits in der Oberstufe berechnet habe. böse

Wie dem auch sei, vielen Dank für Deine gute Hilfe! Dürfte ich noch fragen, welche Art von Gleichung in der Musterlösung benutzt wurde, um auf den Abstand zu kommen? Es scheint wieder eine andere Art von Geradengleichung zu sein und ich bin mir nicht sicher, ob mir diese bekannt ist.

22.03.2015, 11:54

riwe

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RE: Abstand eines Punktes von einer Geraden (keine Vektorrechnung)
Ergänzung:

du kannst das ganze auch rein trigonometrisch lösen Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} tan\alpha=\frac{3}{4}\to sin\alpha=\frac{3}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan\alpha=\frac{2+x}{4}\to x=1\to y=\frac{3}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d=\sqrt{(2+x)^2+16}-y\to d=\frac{22}{5} \end{eqnarray*}$

22.03.2015, 12:05

Mathema

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Aha - ein schönes Bilderl von Werner fehlte hier noch. Danke dir!

Für den Abstand d des Punktes $\begin{eqnarray*} P(x_0|y_0) \end{eqnarray*}$ von g mit Ax+By+C=0 gilt:

$\begin{eqnarray*} d:=|\frac{Ax_0+By_0+C}{\sqrt{A^2+B^2}}| \end{eqnarray*}$

Damit wurde in der Musterlösung gearbeitet.

22.03.2015, 12:41

moody_ds

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Es wurde mit der Hesseschen Normalenform für Geraden gearbeitet.

Dazu wurde zum einen der Abstand $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ von der Geraden zum Ursprung bestimmt. Das ganze mache ich meistens über eine Hilfsgerade. Man weiß dass die Gerade senkrecht auf deiner gegebenen Geraden stehen muss. Also ist das Produkt ihrere Steigungen -1.

$\begin{eqnarray*} \frac{-3}{4} \cdot \frac{4}{3} = -1 \end{eqnarray*}$

Also lautet die Funktion deiner Geraden, ich nenne sie $\begin{eqnarray*} h(x) = \frac{4}{3}x \end{eqnarray*}$

[attach]37557[/attach]

Schnittpunkt von $\begin{eqnarray*} h(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ bestimmen liefert $\begin{eqnarray*} S(\frac{36}{25}|\frac{48}{25}) \end{eqnarray*}$ .

Abstand von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ zum Ursprung lautet daher: $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{36}{25}^2+\frac{48}{25}^2} = \frac{12}{5} \end{eqnarray*}$

Nun doch den Normalenvektor bestimmen indem du einfach 1 einsetzt und als y Wert dann $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ erhälst.

Dieser muss die Länge 1 haben, damit er der Einheitsnormalenvektor $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ ist. Also durch den Betrag teilen, und man erhält für den x Anteil $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5} \end{eqnarray*}$ und für den y Anteil entsprechend $\begin{eqnarray*} \frac{4}{5} \end{eqnarray*}$ .

Deine Geradegleichung mit $\begin{eqnarray*} \vec{n_0} = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})^T \end{eqnarray*}$

lautet also

$\begin{eqnarray*} \frac{12}{5} = \frac{3}{5} x + \frac{4}{5} y \end{eqnarray*}$

Nun lautet die Abstandsformel für eine in Hessescher Normalform vorliegenden Geraden:

$\begin{eqnarray*} d(P,g) = \vec{p} \cdot \vec{n_0} - d \end{eqnarray*}$

das heißt du setzt deinen Punkt $\begin{eqnarray*} P(x_0|y_0) \end{eqnarray*}$ ein:

$\begin{eqnarray*} d(P,g) = \frac{3}{5} x + \frac{4}{5} y - \frac{12}{5} \end{eqnarray*}$ und erhälst den Abstand.

Ich habe bei der Vorschau Anzeige gesehen, dass die Frage bereits beantwortet wurde. Ich habe leider mit dem Verfassen der Antwort etwas länger gebraucht. Und mir ist auch klar, dass der Weg eindeutig der komplizierteste aller Vorschläge hier ist. Falls die Antwort damit unpassend ist, kann der Beitrag gerne gelöscht werden, ansonsten könnt ihr ihn ja als Ergänzung stehen lassen.

22.03.2015, 12:45

riwe

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und auch mir ist die HNF bekannt smile