Lagrangesches Restglied - Denkfehler?

22.03.2015, 11:27

DrHWI

Lagrangesches Restglied - Denkfehler?

Meine Frage:
Hallo, Wink

ich habe folgende Aufgabe: Für die Funktion y = sin(x) stelle man an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=\frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$ die Taylorsche Reihe bis einschließlich des 3. Gliedes auf. Man bestimme damit einen Näherungsausdruck für sin(40°) und schätze den Fehler dieser Näherung durch Restgliedbetrachtung ab.

Meine Ideen:
So, die Taylorreihe an sich ist ja keine Schwierigkeit:

$\begin{eqnarray*} f(x) = sin(x) = \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(x-\frac{\pi}{6})-\frac{1}{4}(x-\frac{\pi}{6})^2+R_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin(40^\circ) = 0.6428 \rightarrow 0.6428 - \frac { \pi}{6} = 0.1192 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rightarrow f(sin(40^\circ)) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} *0.1192 - \frac{1}{4} *0.1192^2 = 0.5997 \end{eqnarray*}$

Nun das Lagrangesche Restglied

$\begin{eqnarray*} R_2(x)=\frac{-cos(x_{max})}{3!}(x-\frac{\pi}{6})^3 \end{eqnarray*}$

So, da ich die Bedingung habe $\begin{eqnarray*} x_0 \leq x_{max} \leq x \end{eqnarray*}$ liegt mein maximaler Wert also im Intervall $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{6} \leq x_{max} \leq sin(40^\circ) \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$ einsetze, so erhalte ich für $\begin{eqnarray*} \frac{-cos(\frac{\pi}{6})}{3!}= - 0,1443 \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} \frac{-cos(sin(40^\circ)}{3!}= -0,1334 \end{eqnarray*}$

So, und hier tritt mein Problem auf. Laut Musterlösung wird das Lagrangesche Restglied für $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$ maximal. Meiner Rechnung nach aber für sin(40°). Habe ich irgendwo einen Denkfehler?

22.03.2015, 13:03

Che Netzer

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RE: Lagrangesches Restglied - Denkfehler?

Zitat:

Original von DrHWI
$\begin{eqnarray*} sin(40^\circ) = 0.6428 \rightarrow 0.6428 - \frac { \pi}{6} = 0.1192 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rightarrow f(sin(40^\circ)) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} *0.1192 - \frac{1}{4} *0.1192^2 = 0.5997 \end{eqnarray*}$

Du sollst einen Näherungswert für die Zahl $\begin{eqnarray*} \sin40^\circ \end{eqnarray*}$ angeben, nicht für $\begin{eqnarray*} f(\sin40^\circ) \end{eqnarray*}$ . [wobei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ überhaupt nicht definiert wurde]
Immerhin kennst du ja $\begin{eqnarray*} \sin40^\circ \end{eqnarray*}$ gar nicht (ohne Taschenrechner) und sollst das Taylor-Polynom benutzen, um einen ungefähren Zahlenwert zu ermitteln – denn ein Polynom kann man ja berechnen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} R_2(x)=\frac{-cos(x_{max})}{3!}(x-\frac{\pi}{6})^3 \end{eqnarray*}$

So würde ich das nicht aufschreiben. Im Restglied sollte eine Zwischenstelle $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ stehen, nicht $\begin{eqnarray*} x_{\max} \end{eqnarray*}$ .
Bei diesem $\begin{eqnarray*} x_{\max} \end{eqnarray*}$ ist allerdings die rechte Seite maximal, d.h. so groß ist der Fehler höchstens.
Und natürlich ist der Betrag des Fehlers entscheidend. Wenn wir $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 3,1 \end{eqnarray*}$ und durch $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ approximieren, ist der Fehler beim zweiten Versuch größer, obwohl $\begin{eqnarray*} \pi-3,1>\pi-4 \end{eqnarray*}$ .

22.03.2015, 13:04

Dopap

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es genügt doch das Restglied im Betrag zu nehmen.

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