Für welche alpha existieren die Folgenden Integrale...?

22.03.2015, 19:34

Marker

Für welche alpha existieren die Folgenden Integrale...?

Hallo! Ich bin neu hier und bräuchte Hilfe bei einem Beispiel.

Die Angabe:

Für welche $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ \{0} existieren die folgenden (unbestimmten) Integrale:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 x^{\alpha} dx , \int_1^{+ \infty} x^{\alpha} dx, \int_0^{+ \infty} x^{\alpha} dx \end{eqnarray*}$

Für das 1. Integral:

Falls alpha>-1:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} x^{\alpha} dx= \frac{1^{\alpha +1}}{\alpha +1}-\frac{0^{\alpha +1}}{\alpha +1}=\frac{1^{\alpha +1}}{\alpha +1} \end{eqnarray*}$

Falls alpha=-1 ist, wäre der Nenner 0.

Ich glaube auch, dass alpha nicht <-1 sein kann, denn dann hätten wir $\begin{eqnarray*} 0^{-x} \end{eqnarray*}$ , was das selbe ist wie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{0^x} \end{eqnarray*}$

Für das 2. Integral:

Falls alpha < -1:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{+ \infty } x^{\alpha} dx=\lim_{\beta \to +\infty } \frac{\beta^{\alpha +1}}{\alpha +1}-\frac{1}{\alpha +1}=0+c \end{eqnarray*}$

Für alpha=-1 hätten wir das selbe Problem wie vorher. Und bei alpha>>-1 würde es gegen +Unendlich gehen.

Und nun zum 3. Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{+ \infty } x^{\alpha} dx=\lim_{\beta \to +\infty } \frac{\beta^{\alpha +1}}{\alpha +1}-\frac{0^{\alpha +1}}{\alpha +1}=\frac{\beta^{\alpha +1}}{\alpha +1} \end{eqnarray*}$

Jetzt sollte das selbe gelten, wie beim 2. Integral.

Stimmt das so?

23.03.2015, 09:32

klarsoweit

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RE: Für welche alpha existieren die Folgenden Integrale...?

Zitat:

Original von Marker
Falls alpha>-1:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} x^{\alpha} dx= \frac{1^{\alpha +1}}{\alpha +1}-\frac{0^{\alpha +1}}{\alpha +1}=\frac{1^{\alpha +1}}{\alpha +1} \end{eqnarray*}$

Falls alpha=-1 ist, wäre der Nenner 0.

Falls alpha=-1 ist, hättest du von vorneherein eine andere Stammfunktion.

Zitat:

Original von Marker
Ich glaube auch, dass alpha nicht <-1 sein kann, denn dann hätten wir $\begin{eqnarray*} 0^{-x} \end{eqnarray*}$ , was das selbe ist wie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{0^x} \end{eqnarray*}$

Das geht gedanklich in die richtige Richtung, aber das solltest du etwas genauer ausführen.

Zitat:

Original von Marker
Für das 2. Integral:

Falls alpha < -1:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{+ \infty } x^{\alpha} dx=\lim_{\beta \to +\infty } \frac{\beta^{\alpha +1}}{\alpha +1}-\frac{1}{\alpha +1}=0+c \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} \lim_{\beta \to +\infty } \frac{\beta^{\alpha +1}}{\alpha +1}-\frac{1}{\alpha +1} = 0 - \frac{1}{\alpha +1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Marker
Und nun zum 3. Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{+ \infty } x^{\alpha} dx=\lim_{\beta \to +\infty } \frac{\beta^{\alpha +1}}{\alpha +1}-\frac{0^{\alpha +1}}{\alpha +1}=\frac{\beta^{\alpha +1}}{\alpha +1} \end{eqnarray*}$

Wo ist denn da der Grenzwert für beta gegen unendlich geblieben? Außerdem wäre es ganz gut, wenn du auch für die untere Grenze eine Variable nimmst, die du dann gegen Null gehen läßt.

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