G-Inverse und Gauß-Algorithmus |
| 23.03.2015, 12:45 | J0sch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| G-Inverse und Gauß-Algorithmus ich soll eine G-Inverse mit dem Gauß Algorithmus bestimmen und komme nicht weiter. Entweder habe ich den Gauß Algorithmus falsch verstanden oder ich mixe den Gauß Algorithmus mit dem Gauß Jordan Algorithmus... vielleicht kann mir hier ja jemand weiterhelfen. Also laut Vorlesung lässt sich die G-Inverse bestimmen, in dem man die Einheitsmatrix neben die Matrix, also auf die rechte Seite schreibt und auf der linken Seite die Matrix in die Normalform umformt. Auf der rechten Seite ergibt sich dann die Matrix Z. Auf der linken Seite erhält man die Matrix H. Hier ist es doch sinnvoll, die linke Seite gleich in die Einheitsmatrix umzuformen um zu sehen, ob die (wenn die Matrix quadratisch ist) Matrix eine multiplikative Inverse besitzt. Außerdem spart man sich ja dann den Schritt: R = H x P weil man P ja dann nicht mehr benötigt um eine Permutation der Spalten von H vorzunehmen. Somit kann man gleich die G-Inverse bestimmen mit A^- = U x Z Ist das soweit korrekt? Ziel des Gauß-Jordan-Algorithmus ist es ja, eine Einheitsmatrix auf der linken Seite zu formen für die Bestimmung der multiplikativen Inverse. Kann man Gauß/Jordan dann nur für die multiplikative Inverse anwenden oder auch für die G-Inverse wenn die Matrix nicht quadratisch ist? Vielen Dank im Voraus! |
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| 23.03.2015, 13:04 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: G-Inverse und Gauß-Algorithmus
Das geht nur, wenn die Matrix invertierbar ist. Nicht jede quadratische Matrix ist invertierbar. |
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| 23.03.2015, 13:42 | J0sch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, mit vollem Rang ist jede Matrix invertierbar oder? |
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| 23.03.2015, 13:49 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja. Ist die G-Inverse nicht nur für nichtinvertierbare Matrizen interessant ? Ist für invertierbare nicht ? |
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| 23.03.2015, 14:14 | J0sch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja stimmt. Aber wenn ich die multiplikative Inverse gleich habe spar ich mir ja einen Schritt und kann schneller überprüfen ob das LGS A x X =b lösbar ist. |
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| 23.03.2015, 15:02 | J0sch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weiß jemand, wie ich die Matrix am Besten in die Normalform bringe? |
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| 23.03.2015, 18:02 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie sieht diese "Normalform" aus ? Ist diese "Normalform" eine andere "Normalform" als die Normalform, die beim invertieren einer Matrix mit dem Gauß-Algorithmus entsteht ? |
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| 23.03.2015, 19:04 | J0sch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Laut Definition zur Berechnung von G-Inversen: Eine Matrix H mit Rang (H) = r hat Normalform, wenn sie die folgenden 2 Bedingungen erfüllt: - Die ersten r Zeilen sind keine Nullzeilen, die übrigen Zeilen enthalten nur Nullen. - Die ersten r Spalten der Einheitsmatrix In treten als Spalten von H auf Sollte das Gleiche sein oder? Irgendwie verrechne ich mich sehr oft wenn ich versuche die Matrix auf Normalform zu bringen. Man geht ja von Spalte zu Spalte und formt oberhalb und unterhalb der Hauptdiagonale aus Einsen alles auf Null oder nicht? Wie soll ich denn da bitte Nullzeilen herausbekommen? Theoretisch kann man ja sehr oft die Einheitsmatrix durch elementare Zeilenumformungen erzeugen... |
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| 24.03.2015, 10:15 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau so verstehe ich die Normalform nach Anwendung des Gauß-Algorithmus. Genau dann, wenn die Matrix quadratisch und invertierbar ist, ergibt der Algorithmus die Einheitsmatrix als Normalform, rechts davon steht dann die inverse . Wenn nicht quadratisch oder nicht invertierbar ist, kann nicht die Einheitsmatrix herauskommen, und dann dient der Algorithmus zur Berechnung der pseudoinversen Matrix mit . Generalisierte Inverse heißt , weil auch dieser Relation genügt, aber im Fall der Nichtinvertierbarkeit nicht existiert. |
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