Wallische Produktformel (letzter Schritt)

23.03.2015, 15:08	Gone	Auf diesen Beitrag antworten »
Wallische Produktformel (letzter Schritt) Hallo! Ich habe Probleme damit, den letzten Schritt der Herleitung der Wallischen Produktformel zu verstehen und hoffentlich kann mir hier irgendjemand helfen $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty} \frac{2^24^2...(2k)^2}{3^25^2...(2k-1)^22k}* \lim_{k \to \infty} \frac{2k}{2k+1} \leq \lim_{k \to \infty} \frac{\pi}{2} \leq \lim_{k \to \infty} \frac{2^2..(2k-2)^2(2k)^2}{3^2...(2k-1)^2(2k)} \end{eqnarray}$ Mit dem Einschlusssatz folgt: $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty} \frac{\pi}{2}= \frac{\pi}{2}=lim_{k \to \infty} \frac{2^24^2...(2k)^2}{3^25^2...(2k-1)^2} \frac{1}{2k} \end{eqnarray}$ Müsste man für den Einschlusssatz nicht noch einen Ausdruck finden, der $\begin{eqnarray} \geq lim_{k \to \infty} \frac{2^24^2...(2k)^2}{3^25^2...(2k-1)^2} \frac{1}{2k} \end{eqnarray*}$ ist?
24.03.2015, 08:21	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wallische Produktformel (letzter Schritt) Die ganzen Limites haben da nichts verloren. Zunächst mal gilt folgende Abschätzung: $\begin{eqnarray} \frac 23\cdot\frac 45\cdot\ldots\cdot\frac{2n}{2n+1}<\frac 12\cdot \frac 34\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}\cdot\frac{\pi}2<\frac 23\cdot\frac 45\cdot\ldots\cdot\frac{2n-2}{2n-1}. \end{eqnarray}$ Daraus folgt (indem man das Ganze einfach mit dem Kehrwert des Terms ganz rechts multipliziert): $\begin{eqnarray} \frac{2n}{2n+1}<\left(\frac{3\cdot 5\cdot\ldots\cdot(2n-1)}{2\cdot 4\cdot\ldots\cdot(2n-2)}\right)^2\cdot\frac 1{2n}\cdot\frac{\pi}2<1. \end{eqnarray}$ Und jetzt ist die Aussage mit dem Einschließungskriterium offensichtlich.

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