Funktion, Polynome mit Nullstellenmenge

23.03.2015, 16:19

Cl3audia

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Funktion, Polynome mit Nullstellenmenge

Meine Frage:
Guten Tag,

das neue Semester hat begonnen und die Vorlesung humpelt den Übungen hinterher und ich möchte nicht bis einen Tag vor der Abgabe auf die Vorlesung warten, daher hoffe ich, dass mir ein wenig Schützenhilfe geleistet werden kann. Dafür schon mal danke!

Es sei eine Funktion $\begin{eqnarray*} R: \mathbb C \setminus \lbrace -2,2\rbrace \rightarrow \mathbb C \end{eqnarray*}$ definiert durch

$\begin{eqnarray*} R(z) := 16z + 32 + \frac{36}{(z-2)^2} + \frac{87}{z-2}+\frac{9}{z+2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \setminus \lbrace -2,2\rbrace \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie Polynome $\begin{eqnarray*} p, q: \mathbb C \rightarrow \mathbb C \end{eqnarray*}$ mit Nullstellenmenge $\begin{eqnarray*} N_p : = \lbrace z \in \mathbb C | p(z) = 0 \rbrace \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N_q : = \lbrace z \in \mathbb C | q(z) = 0 \rbrace \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} N_p \cap N_q =\varnothing \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} R(z) = \frac{p(z)}{q(z)} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \setminus N_q \end{eqnarray*}$

Wie nennt man die Definitionslücken der rationalen Funktion R?

Meine Ideen:
Wie nennt man die Definitionslücken der rationalen Funktion R?

-> Polstellen?

Ich weiß nicht ganz was ich machen soll. Bestimmen soll ich Polynome $\begin{eqnarray*} p, q \end{eqnarray*}$ mit Nullstellenmengen, sodass wenn die beiden Nullstellenmengen geschnitten die leere Menge ergeben, sprich die Nullstellenmenge unterscheiden sich in allen Elementen, also haben kein einziges Element, was gleich ist?

Ich würde jetzt einfach Erweitern bzw. alles auf einen gemeinsamen Nenner bringen? Aber was dann?

Liebe Grüße und vielen Dank!

Claudia

23.03.2015, 18:34

Elvis

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Anscheinend bist du schon auf einem guten Weg.
Polstellen ist der passende Begriff. An den Polstellen hat die rationale Funktion R(z) Pole erster und zweiter Ordnung.
Erweitern der Summanden mit dem Hauptnenner (soweit wie nötig) ist auch eine vorzügliche Idee. Damit dürfte die Aufgabe gelöst sein.

24.03.2015, 08:38

Cl3audia

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Damit sollte die Aufgabe gelöst sein?

Also mit:
$\begin{eqnarray*} \frac{16z (z-2)^2 (z+2)+32 (z-2)^2 (z+2)+36 (z+2)+87 (z-2) (z+2)+9 (z-2)^2}{(z-2)^2 (z+2)} \end{eqnarray*}$

Ja?

Danke !!!

Claudia

24.03.2015, 10:06

Elvis

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So gut wie gelöst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ein Polynom hat bekanntlich die Form $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^na_kz^k \end{eqnarray*}$ , also wirst Du bitte in Zähler und Nenner die Klammern auflösen und nach Potenzen von z ordnen.

24.03.2015, 10:39

Cl3audia

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Okiii

smile

wird gemacht

$\begin{eqnarray*} \frac{16z (z-2)^2 (z+2)+32 (z-2)^2 (z+2)+36 (z+2)+87 (z-2) (z+2)+9 (z-2)^2}{(z-2)^2 (z+2)}<br /> =\frac{16z^4-32z^3-64z^2+128 + 32z^4-64z^3-128z^2+256z +36z+72+87z^2-348+9z^2-36z+36}{z^3-2z^2-4z+8} <br /> <br /> =\frac{48z^4-96z^3-96z^2+384z-240}{z^3-2z^2-4z+8} \end{eqnarray*}$

So? Müsste stimmen, hoffe ich.

Also sind meine Polynome

$\begin{eqnarray*} p(z) = 48z^4-96z^3-96z^2+384z-240 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q(z) = z^3-2z^2-4z+8 \end{eqnarray*}$

Claudia

24.03.2015, 11:54

Elvis

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Nein. Wie wird aus $\begin{eqnarray*} 16z^4 \end{eqnarray*}$ im Zähler $\begin{eqnarray*} 48z^4 \end{eqnarray*}$ ? Tipp: Schrittweise, langsam und sorgfältig vorgehen, erst einmal nacheinander die Klammern auflösen. Der Nenner stimmt.

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24.03.2015, 14:52

Cl3audia

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Zitat:

Original von Cl3audia
Damit sollte die Aufgabe gelöst sein?

Also mit:
$\begin{eqnarray*} \frac{\rightarrow +32 (z-2)^2 (z+2) \leftarrow+36 (z+2)+87 (z-2) (z+2)+9 (z-2)^2}{(z-2)^2 (z+2)} \end{eqnarray*}$

Da kommen doch die $\begin{eqnarray*} 32z^4 \end{eqnarray*}$ her und mit dem ersten Summanden addiert $\begin{eqnarray*} 48 z^4 \end{eqnarray*}$

PS: Ich habe mir alles sorgfältig aufgeschrieben und bunt alles gekennzeichnet, sonst würde ich den Überblick verlieren ^^

Ich danke herzlich!

Claudia

24.03.2015, 15:16

Mathema

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Das markierte Produkt hat aber nur Grad 3. Man sollte schon den Tipp von Elvis beherzigen.

Wink

Wink

24.03.2015, 15:46

Cl3audia

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Entschuldigung! Ich habe in meinen Unterlagen ein z eingeschmuggelt ich böse Schummlerin

$\begin{eqnarray*} \frac{16z^4-41z^2-20}{z^3-2z^2-4z+8} \end{eqnarray*}$

So? Jetzt aber?

Claudia

24.03.2015, 16:29

Mathema

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Leider immer noch nicht.

24.03.2015, 18:09

Elvis

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Rechnen ist gar nicht so einfach. Selbst geübte MathematikerInnen haben nur dann eine Chance Fehler zu vermeiden, wenn sie langsam und sorgfältig arbeiten und das Ergebnis kontrollieren (lassen). Wer falsch gerechnet hat, muss noch einmal ganz von vorn anfangen. Das nervt, das soll es auch, denn dadurch erzieht man sich selbst zu der notwendigen Sorgfalt. Lehrer

Lehrer

Anmerkung: Du musst später noch nachweisen, dass $\begin{eqnarray*} N_p\cap N_q=\emptyset \end{eqnarray*}$ gilt. Hast Du schon eine gute Idee, wie man das machen kann ? Wenn nicht, habe ich eine Idee, die zwecks weiterer Übung mit wunderbar viel Rechenaufwand verbunden ist.

24.03.2015, 18:47

Cl3audia

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Ohje dann Brösel ich mal den verfaulten Streuselkuchen mal hier auf

$\begin{eqnarray*} \frac{16z (z-2)^2 (z+2)+32 (z-2)^2 (z+2)+36 (z+2)+87 (z-2) (z+2)+9 (z-2)^2}{z^3-2z^2-4z+8} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 16z (z-2)^2 (z+2)=16z^4-32z^3-64z^2+128z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 32 (z-2)^2 (z+2) = 32z^3-64z^2-128z+256 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 36 (z+2) = 36z+72 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 87 (z-2) (z+2)= 87 (z^2-4) = 87 z^2 -348 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9 (z-2)^2 = 9 (z^2-4z +4) = 9z^2 -36z +36 \end{eqnarray*}$

So vom höchsten Grad angefangen:

$\begin{eqnarray*} 16z^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -32z^3 + 32z^3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -64z^2-64z^2+87z^2+9z^2 = -128z^2+96z^2 = -32z^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 128z-128z+36z-36z=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 256+72-348+36 = 364-348 = 24 \end{eqnarray*}$

Somit haben wir:
$\begin{eqnarray*} \frac{16z^4 -32z^2 +24}{z^3-2z^2-4z+8} \end{eqnarray*}$

Also auch: $\begin{eqnarray*} p(z) = 16z^4 -32z^2 +24 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q(z) = z^3-2z^2-4z+8 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Elvis
Rechnen ist gar nicht so einfach. Selbst geübte MathematikerInnen haben nur dann eine Chance Fehler zu vermeiden, wenn sie langsam und sorgfältig arbeiten und das Ergebnis kontrollieren (lassen). Wer falsch gerechnet hat, muss noch einmal ganz von vorn anfangen. Das nervt, das soll es auch, denn dadurch erzieht man sich selbst zu der notwendigen Sorgfalt. Lehrer

Lehrer

Das stimmt natürlich, ich lasse mich aber auch immer von kleinsten Geräuschen, rauschen, Vogelgezwitscher, Telefonen sehr schnell ablenken unglücklich

unglücklich

Es nervt aber wenn man nicht sorgfältig arbeitet dann macht man Böcke und man kann sich die Schuld nur selbst in die Schuhe schieben und keinem anderen.

Zitat:

Original von Elvis
Du musst später noch nachweisen, dass $\begin{eqnarray*} N_p\cap N_q=\emptyset \end{eqnarray*}$ gilt. Hast Du schon eine gute Idee, wie man das machen kann ? Wenn nicht, habe ich eine Idee, die zwecks weiterer Übung mit wunderbar viel Rechenaufwand verbunden ist.

Mit dem Satz über die Partialbruchzerlegung? Aber eigentlich ist es doch schon gezeigt die Nullstellen des Zählers sind verschieden von den Nullstellen des Nenners also wenn man beide Mengen schneidet muss zwingend die leere Menge herauskommen. Aber wie man das zeigen soll, da bin ich überfragt?
Ich würde einfach die Nullstellenmenge konkret aufschreiben und dann mit der anderen schneiden lassen und zeigen, dass dies die leere Menge ist.

Ich danke sehr!

Claudia

24.03.2015, 18:58

Elvis

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Der Zähler ist falsch. Das tut mir jetzt echt leid. tipp: Nur die 24 ist falsch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was ist 364-348 ?

Nullstellen berechnen ist eine gute Idee, damit kann man die Behauptung nachweisen. Ich hatte eigentlich vermutet, dass p und q nach Konstruktion keine gemeinsamen Nullstellen haben. Richtig schön rechenaufwändig wäre der euklidische Algorithmus zur Berechnung des ggT gewesen. Noch eine Idee: Wenn der Zähler nicht die 2 und -2 als Nullstelle hat, ist der Nachweis fertig.

24.03.2015, 19:20

Cl3audia

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Zitat:

Original von Elvis
Der Zähler ist falsch. Das tut mir jetzt echt leid. tipp: Nur die 24 ist falsch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was ist 364-348 ?

Wie peinlich :Hammer: sixteen

Zitat:

Original von Elvis
Nullstellen berechnen ist eine gute Idee, damit kann man die Behauptung nachweisen. Ich hatte eigentlich vermutet, dass p und q nach Konstruktion keine gemeinsamen Nullstellen haben. Richtig schön rechenaufwändig wäre der euklidische Algorithmus zur Berechnung des ggT gewesen.

Vermutet dass p und q nach Konstruktion keine gemeinsamen Nullstellen haben?

Also:
Substitution
$\begin{eqnarray*} z^2=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 16x^2-32x+16 = 0 \Leftrightarrow x^2 -2x +1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{1,2}= 1 \pm \sqrt{1^2-1} \end{eqnarray*}$

Also einzige Nullstelle bei $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$

Es ging auch einfach abzulesen anhand von: $\begin{eqnarray*} 0 = x^2 -2x +1 = (x-1)^2 = 0 \end{eqnarray*}$

So mit Polynomdivision und zuvor raten der Nullstelle (2) kommt man auf
$\begin{eqnarray*} z^3 - 2z^2 - 4z +8 : (z-2) = z^2-4 \end{eqnarray*}$ kommt man auf die Nullstellen $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$

Also Verdacht bestätigt,

es grüßt Sherlocke Holmine

Claudia

24.03.2015, 19:29

Elvis

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"Ende gut, alles gut." Freude

Freude

Nachtrag zur Vermutung: Im Nenner stecken die Faktoren (z+2) und (z-2). Da wir so erweitert haben, dass im Nenner der Hauptnenner steht, hat nicht jeder Summand im Zähler einen dieser Faktoren, also hat der Zähler nicht diese Nullstellen. (Wäre das eine sinnvolle Begründung gewesen ?)

24.03.2015, 19:33

Cl3audia

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Danke Euch allen nochmal recht herzlich!!! Freude

Freude

Wie kann ich noch am Ende es korrekt aufschreiben?
$\begin{eqnarray*} N_p = \lbrace 1 \rbrace \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N_q = \lbrace -2,2 \rbrace \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N_p\cap N_q=\emptyset \end{eqnarray*}$

Claudia

24.03.2015, 19:39

Elvis

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Das ist korrekt, der Mathematiker bevorzugt allerdings ganze Aussagen:

$\begin{eqnarray*} N_p=\{1\}\wedge N_q=\{-2,2\}\Rightarrow N_p\cap N_q=\emptyset \end{eqnarray*}$

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