Potential ableiten

23.03.2015, 21:02	Keq	Auf diesen Beitrag antworten »
Potential ableiten Meine Frage: Hi ich habe ne Frage, und zwar soll ich das Kompressionsmodul aus der totalen Energie abschätzend. Das Problem ist eher dass ich die Umformung der gegebenen Formeln nicht verstehen will. $\begin{eqnarray} K=V\frac{d^{2}U }{dV^{2} } \end{eqnarray}$ das ist die Formel. K=kompress-modul,V Volumen, U Totales Potential in abhängigkeit von R umgefrmt wurde die Gleichung jetzt zu $\begin{eqnarray} K=V\frac{d^{2}U }{dR^{2} } (\frac{dR}{dV})^2 +V\frac{dU}{dR} \frac{d^{2}R }{dV^{2} } \end{eqnarray}$ hier verstehe ich nicht wieso im ersten Summenterm die Ableitung dR/dV quadartisch eingeht. Und ich verstehe nicht wieso der zweite Summenterm überhaupt existiert. der zweite summenterm fällt zwar weg weil ich im zweiten Summenterm für $\begin{eqnarray} R=R_{0} \end{eqnarray}$ wähle (was ich auch nicht verstehe wieso hier und nicht auch im ersten Summenterm) und im gleichgewichtsabstand R0 ja das Potentialminimum ist , die ableitungs also zu 0 wird ( wa sich verstehe ) Meine Ideen:*
24.03.2015, 08:51	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potential ableiten Das ergibt sich durch die Kombination von Kettenregel und Produktregel. Es ist definitionsgemäß: $\begin{eqnarray} \frac {d^2U}{dV^2}=\frac {d}{dV} \left ( \frac {dU}{dV} \right ) \end{eqnarray}$ Berechne erst $\begin{eqnarray} \frac {dU}{dV} \end{eqnarray}$ nach der Kettenregel. Man erhält ein Produkt von 2 Termen. Berechne jetzt $\begin{eqnarray} \frac {d}{dV} (Produkt) \end{eqnarray}$ nach der Produktregel. Das Ergebnis ist eine Summe von 2 Produkten. In diesem Ergebnis steht noch eine Ableitung nach $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , die nicht auf $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ wirkt. Diese Ableitung berechnest du wieder nach der Kettenregel.
24.03.2015, 11:10	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schreibe mal ausführlich auf, was @Huggy meint,: ------------------------------------------------------------------ Die Funktion U=U(V) ist eine verkettete Funktion U=U[R(V)], deren 1.Ableitung mittels Kettenregel lautet $\begin{eqnarray} \tfrac{dU}{dV}=\tfrac{dU}{dR}\tfrac{dR}{dV} \end{eqnarray}$ Nochmliges Ableiten nach V ergibt die 2.Ableitung, wozu man die Produktregel verwenden muss. Dabei führen wir die Abkürzung $\begin{eqnarray} U'=\tfrac{dU}{dR} \end{eqnarray}$ ein. $\begin{eqnarray} \tfrac{d}{dV}\left ( \tfrac{dU}{dV}\right )=\tfrac{d}{dV}\left ( \tfrac{dU}{dR}\tfrac{dR}{dV}\right )=\tfrac{d}{dV}\left (U' \cdot\tfrac{dR}{dV}\right )=\underbrace{\tfrac{dU'}{dV} \cdot \tfrac{dR}{dV}+U'\cdot \tfrac{d^2R}{dV^2}}_{\text{Produktregel}} \end{eqnarray}$ Da die Funktion $\begin{eqnarray} U'=\tfrac{dU}{dR} \end{eqnarray}$ wiederum eine verkettete Funktion ist, lautete deren Ableitung nach V ähnlich wie oben $\begin{eqnarray} \tfrac{dU'}{dV}=\tfrac{dU'}{dR}\tfrac{dR}{dV}=\tfrac{d}{dR}\left ( \tfrac{dU}{dR}\right )\tfrac{dR}{dV}=\tfrac{d^2U}{dR^2}\tfrac{dR}{dV} \end{eqnarray}$ . Einsetzen in die vorherige Zeile liefert also die 2.Ableitung der verketteten Funktion $\begin{eqnarray} \tfrac{d^2U}{dV^2}=\tfrac{d^2U}{dR^2} \left (\tfrac{dR}{dV}\right )^2 +\tfrac{dU}{dR}\cdot \tfrac{d^2R}{dV^2} \end{eqnarray}$

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