Äußeres Einheits-Normalen-Feld

24.03.2015, 08:40	voodoo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Äußeres Einheits-Normalen-Feld Heyho! Hätte mal ne Frage zum Kompaktum mit glattem Rand. Sei im Folgenden $\begin{eqnarray} A\subseteq \mathbb{R}^{n} \end{eqnarray}$ kompakt mit glattem Rand. Nun hatten wir folgenden Satz: Sei $\begin{eqnarray} a\in \partial A \end{eqnarray}$ . Dann existiert genau ein $\begin{eqnarray} \nu(a)\subseteq \mathbb{R}^{n} \end{eqnarray}$ was die folgenden Bedingungen erfüllt: i) $\begin{eqnarray} \nu(a)\perp T_{a}(\partial A) \end{eqnarray}$ ii) $\begin{eqnarray} \left \\|\nu(a) \right \\| = 1 \end{eqnarray}$ iii) $\begin{eqnarray} \exists \varepsilon > 0: a + t\nu(a) \notin A \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall 0<t<\varepsilon \end{eqnarray}$ Wir nennen die durch $\begin{eqnarray} \nu : \partial A\rightarrow \mathbb{R}^{n} \end{eqnarray}$ definierte stetige Abbildung das äußere Einheits-Normalen-Feld. Mein Verständnisproblem besteht darin: Warum äußeres? Was garantiert mir dass mein $\begin{eqnarray} \nu(a) \end{eqnarray}$ wirklich nach außen, also von der Menge $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ weg zeigt? Folgt das evtl. aus Bedingung iii? Wenn nein, was hat iii) zu bedeuten? Würde mich über Hilfe überaus freuen. Gruß
24.03.2015, 12:16	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
(iii) besagt, dass zumindest das erste $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ -Stück von $\begin{eqnarray} \nu(a) \end{eqnarray}$ nicht $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ trifft, also außerhalb von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ liegt. An der Stelle $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ zeigt also $\begin{eqnarray} \nu(a) \end{eqnarray}$ zunächst von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ weg, nach (i) sogar senkrecht weg.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »