Komplement des approximativen Punktspektrums

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Remo_91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplement des approximativen Punktspektrums
Meine Frage:
Hallo zusammen!

Ich muss zeigen, dass das approximative Punktspektrum das Komplement der Menge aller Punkte von regulärem Typ ist, wobei:



Man soll nun also zeigen, dass


Meine Ideen:
Intuitiv ist mir das klar, aber ich weiss nicht, wie ich das mathematisch korrekt aufschreiben soll. Ich hätte gewählt und gezeigt, dass sein muss und umgekehrt.

Kann mir bitte jemand helfen, diesen Beweis auszuformulieren?
Herzlichen Dank


Zwei Beiträge zusammengefasst, damit Antwortzähler auf Null steht. Steffen

Ich muss dazu noch sagen, dass T ein abgeschlossener linearer Operator ist.
Ich wäre sehr froh um eure Hilfe Freude
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplement des approximativen Punktspektrums
Wenn , dann ist doch die Folge eine Nullfolge. Zeige, dass dann .
Remo_91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplement des approximativen Punktspektrums
Hallo RavenOnJ, herzlichen Dank für deine Antwort!

So weit habe ich es verstanden, wenn wir wählen, dann . Das würde dann doch bedeuten, dass beschränkt ist, also . Also kann . Stimmt dass so?
Aber jetzt haben wir ja erst eine Richtung gezeigt..?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplement des approximativen Punktspektrums
Zitat:
Original von Remo_91
Hallo RavenOnJ, herzlichen Dank für deine Antwort!

So weit habe ich es verstanden, wenn wir wählen, dann . Das würde dann doch bedeuten, dass beschränkt ist, also . Also kann .


Nein, nicht ganz. würde bedeuten, dass es zu jedem in jeder (entsprechend der Definition von erlaubten) Folge ein gibt mit , denn ist Nullfolge.
Remo_91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplement des approximativen Punktspektrums
Ok, würde es so stimmen?



ist eine Nullfolge





In diesem Fall könnte man jeweils auch schreiben, oder?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplement des approximativen Punktspektrums
Zitat:
Original von Remo_91


ist eine Nullfolge




Es fehlte mindestens der rote Doppelpunkt, ansonsten richtig.

Zitat:

In diesem Fall könnte man jeweils auch schreiben, oder?


Das sehe ich nicht so. Wir haben jetzt gezeigt, dass . Es könnte noch Zahlen geben mit aber . Das gilt es auszuschließen. Wie könnte man zeigen? Äquivalent dazu wäre es, wenn man zeigt, dass . Letzteres ist möglicherweise einfacher.
 
 
Remo_91 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Das Problem ist jetzt, dass ich eben nicht verstehe, was es bedeutet, wenn . Was können wir daraus folgern...?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Daraus kann man folgern, dass es keine Folge mit gibt, sodass eine Nullfolge ist. Was folgt daraus? Betrachte die Menge aller möglichen erlaubten Folgen und zeige, dass es einen Wert geben muss, sodass für alle diese Folgen gilt:
Weil der Operator abgeschlossen ist, würde aus der Nicht-Existenz eines solchen folgen, dass es ein mit gibt, sodass . Das wäre im Widerspruch zu der Annahme .
Remo_91 Auf diesen Beitrag antworten »

Aus ist keine Nullfolge folgt also, dass es ein geben muss, sodass . Das ist mir jetzt klar. Ist dann auch automatisch klar, dass für ?

Vielen Dank für deine Geduld!
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Remo_91
Ist dann auch automatisch klar, dass für ?


Du kannst doch immer ein beliebiges auf ein auf dem Einheitskreis beziehen: . Es ist .

Damit wird wegen der Linearität von bzw. :
.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Noch was:

Zitat:
Original von Remo_91
Aus ist keine Nullfolge folgt also, ...


Hier solltest du aber schreiben: "Da es keine Folge gibt, sodass Nullfolge ist, ...", o.s.ä..

Das ist was grundsätzlich anderes. In deiner Formulierung beziehst du dich nur auf eine einzige Folge. Es geht aber darum, dass keine solche Folge existieren darf im Fall .
Remo_91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist mir klar. Was ich nicht verstehe ist, dass aus auch folgt. Kann es nicht sein, dass es ein gibt, für das ist und doch noch gilt?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Remo_91
Ja, das ist mir klar. Was ich nicht verstehe ist, dass aus auch folgt. Kann es nicht sein, dass es ein gibt, für das ist und doch noch gilt?


Natürlich gibt es solche Folgen. Es gibt auch immer die Folgen bzw. die nur aus einem Element bestehen.

Ich habe dich allerdings mit diesen Grenzwertbetrachtungen auf die falsche Fährte gelockt, denn es geht wirklich nicht um die Grenzwerte, sondern ob für jedes einzelne Element aus gilt, dass .

Vielleicht ist diese Kette aus Folgerungen doch geeigneter:


das heißt .
Remo_91 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen herzlichen Dank! Jetzt ist es mir klar.

Ich habe nun noch eine weitere Frage, wenn wir schon dabei sind Augenzwinkern

Ich muss nun auch noch zeigen, dass aus folgt, dass abgeschlossen ist.

Meine Idee ist die folgende: Wähle eine Folge . Für gilt: . Falls , würde folgen, da abgeschlossen ist. Und wir wären fertig, da dann . Aber ich darf ja nicht einfach annehmen, dass . Was wäre eine bessere Idee?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Wofür steht bei dir das 'ran' in ? Range?
Remo_91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, sorry!
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