Theorema Egregium

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Gast736 Auf diesen Beitrag antworten »
Theorema Egregium
Meine Frage:
Hallo,

ich verstehe im Moment eine Umformung nicht. Und zwar haben wir für die Gaußkrümmung , wobei R der Riemannsche Krümmungstensor ist und die Determinante der ersten Fundamentalform ist. sind dabei Basisvektoren der Tangentialebene.

Meine Ideen:
Warum ist das das Gleiche wie wobei v,w eine Orthonormalbasis der Tangentialebene ist. Ich kann dieses doch mit Hilfe der Definition der ersten Fundamentalform umschreiben zu . Doch handelt es sich hier nur um den Zähler von der obigen Definition. Wie bekomme ich in dem Nenner die Determinante?

Liegt es daran, dass man in dem ersten Fall nur von einer Basis ausgeht und im zweiten voll sogar von einer Orthonormalbasis und daher ist die Determinante der ersten Fundamentelaform in diesem Fall so oder so 1 und muss somit nicht explizit aufgeführt werden?

Korrektur durchgeführt und Folgebeitrag entfernt (Guppi12)
Weiteren Folgebeitrag eingefügt (Steffen)
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Vermutung ist korrekt: Wenn man innerhalb der Tangentialebene eine Orthonormalbasis benutzt, gilt g=1. (Guck mal bei WIKIPEDIA unter dem Stichwort "Gaußsche Krümmung"). Die Formel mit g im Nenner ist also ein Spezialfall.
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