Integral mit Wurzel

25.03.2015, 12:48

NoAhnung

Integral mit Wurzel

Meine Frage:
Hallo, Wink

ich versuche momentan das Integral von $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x}{1+\sqrt{2x+1}}\,dx \end{eqnarray*}$ zu berechnen. Allerdings bereitet es mir einige Schwierigkeiten.

Meine Ideen:
Bisher fiel mir nur die Möglichkeit ein zu substituieren.
Dies würde
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x}{1+u}*\frac{4\sqrt{2x+1}}{du} \end{eqnarray*}$ liefern, aber auch das bringt mich nicht weiter. Ich müsste ja letztendlich auch mein x im Zähler nach u umstellen und das würde wiederum ein "Monsterintegral" liefern. Kann mir vielleicht jemand sagen, wie ich dieses Integral anpacken muss? smile

25.03.2015, 13:00

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Substituiere u = 2x+1

Wink

25.03.2015, 13:01

Yakyu

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Tipp: Entferne zuerst die Wurzel aus dem Nenner durch eine geeignete Erweiterung.

Gruß

25.03.2015, 13:43

NoAhnung

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Wenn ich also erweitere durch
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{(1+\sqrt{2x+1})}*\frac{(1-\sqrt{2x+1})}{(1-\sqrt{2x+1})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \int \! \frac{x-x\sqrt{2x+1}}{-2x}dx \end{eqnarray*}$ ?

Die Substitution von u = 2x+1 wäre
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}\int \! \frac{u}{1+\sqrt{u}}-\frac{1}{4}\int \! \frac{du}{1+\sqrt{u}} \end{eqnarray*}$ ?

Zumindest letzteres Integral könnte ja auf die Stammfunktion des ln zurückgeführt werden... smile

25.03.2015, 13:49

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Was du da auf den ln zurückführen möchtest ist mir ein Rätsel. verwirrt

Wieso substituierst du nicht direkt? Du erhältst:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x}{1+\sqrt{2x+1}}\,dx = \frac{1}{4}\int \! \frac{u-1}{1+\sqrt{u}}\,du =\frac{1}{4}\int \! \frac{(\sqrt{u}-1)(\sqrt{u}+1)}{1+\sqrt{u}}\,du=... \end{eqnarray*}$

25.03.2015, 15:37

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von NoAhnung
$\begin{eqnarray*} \rightarrow \int \! \frac{x-x\sqrt{2x+1}}{-2x}dx \end{eqnarray*}$ ?

Es sollte schon erkennbar sein, dass man das x kürzen kann. Es verbleibt das ziemlich überschaubare Integral

$\begin{align*} \frac{1}{2} \int (\sqrt{2x+1}-1) ~ \dd x \end{align*}$ ,

was ja sicher auch der Grund für diesen Tipp durch Yakyu war. Augenzwinkern

25.03.2015, 16:13

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja - das ist mir klar. Nur, wo liegt der Vorteil von diesem Tipp? Nun landen wir nach Subsititution genau dort, wo meine Rechnung aufhört, nämlich:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}\int \! (\sqrt{u}-1)\, du \end{eqnarray*}$

Naja - soll NoAhnung entscheiden, welchen Weg er nun beschreiten möchte. Das Ziel ist ja jedenfalls nicht mehr weit entfernt.

25.03.2015, 16:46

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe nicht, dass das ein anderer Weg ist: Ob man die Erweiterung vor oder nach der Substitution macht, ist doch wurst.

25.03.2015, 18:01

noahnung

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also weiter:

Ich lande bei
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x}{1+\sqrt{2x+1}}\,dx = \frac{1}{4}\int \! \frac{u-1}{1+\sqrt{u}}\,du =\frac{1}{4}\int \! \frac{(\sqrt{u}-1)(\sqrt{u}+1)}{1+\sqrt{u}}\,du \end{eqnarray*}$

Das erweitere ich nun also, um meinen Bruch aus dem Nenner zu bekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \int \! \frac{(\sqrt{u}+1)(\sqrt{u}-1)(1-\sqrt{u})}{1-u}\,du=\frac{1}{4}\int \! \frac{du}{1-u} \end{eqnarray*}$
...und ich behaupte jetzt wieder ganz vorsichtig, dass ich das zum Logarithmus ln integrieren würde...
Habe jetzt aber in die Musterlösung geschaut und festgestellt, dass irgendetwas noch immer nicht stimmt bei mir. Die Lösung soll $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}(2x+1)^{\frac{3}{2}}+\frac{4}{3}ln|x+1|+c \end{eqnarray*}$ lauten. Hammer

25.03.2015, 18:18

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du meinen letzen Beitrag überhaupt gelesen? verwirrt

Dein Zähler ergibt doch nach deiner Erweiterung nicht 1. unglücklich

Zudem sollst du hier einfach kürzen. Es ist

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x}{1+\sqrt{2x+1}}\,dx = \frac{1}{4}\int \! \frac{u-1}{1+\sqrt{u}}\,du =\frac{1}{4}\int \! \frac{(\sqrt{u}-1)(\sqrt{u}+1)}{1+\sqrt{u}}\,du=\frac{1}{4}\int \! (\sqrt{u}-1)\, du=\frac{1}{4}\int \! (u^\frac{1}{2}-1)\, du=... \end{eqnarray*}$

Und dafür wirst du nun ja wohl mal eine Stammfunktion finden.

PS: Und was zum Teufel möchtest du immer mit deinem Logarithmus? Vergiss mal die Musterlösung.

Neue Frage »

Antworten »

Integral mit Wurzel

Verwandte Themen