Universelle Eigenschaft vom Tensorprodukt

25.03.2015, 19:11	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Universelle Eigenschaft vom Tensorprodukt Hallo allerseits, kann mir jemand ein Beispiel für die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes nennen? Oder auf eine Seite mit Beispielen verweisen? Als Definition kann folgendes betrachtet werden: M,N R-Moduln über den Ring R $\begin{eqnarray} \gamma\ M\times N\to T:=M\otimes N \end{eqnarray}$ bilinear und erfüllt die universelle Eigenschaft: $\begin{eqnarray} \forall \phi:\ M\times N\to E\ \exists!\ \varphi:\ T\to E \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} \phi = \varphi\circ \gamma \end{eqnarray}$ Das Paar $\begin{eqnarray} (T,\gamma) \end{eqnarray}$ heißt Tensorprodukt Vielen Dank für die Hilfe, Shalec
25.03.2015, 19:34	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die "universelle" Eigenschaft des Tensorprodukts heißt "universelle" Eigenschaft, weil sie für jedes Tensorprodukt gilt, mehr steckt nicht dahinter. Als Beispiele lernt man in der linearen Algebra Tensorprodukte von Vektorräumen kennen. Diese sind durch die Definition bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt, und man kann sie sogar konstruieren, was ihre Existenz beweist.
25.03.2015, 19:35	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, deine Frage erscheint mir etwas seltsam. Der Name "universelle Eigenschaft" ist durchaus berechtigt, denn es gilt immer (sagt ja auch die Definition dieses Begriffs.) Für was genau suchst du denn ein Beispiel? Mir klingt es mehr danach als suchtest du nach einem Beispiel für ein Tensorprofukt.
25.03.2015, 20:12	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also ich suche viel mehr ein Beispiel, aus dem die Eindeutigkeit von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ersichtlich wird. Ich kann mir denken, dass diese universelle Eigenschaft viele Folgerungen für Tensorprodukte bereit hält. Viele Grüße
26.03.2015, 11:39	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit Moduln kenne ich mich nicht gut genug aus. Für Tensorprodukte von Vektorräumen ist die Eindeutigkeit von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ klar mit $\begin{eqnarray} \phi=\varphi \circ \ \gamma \end{eqnarray}$ - für jede bilineare Abbildung $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ , das hast Du in Deiner Definition des Tensorprodukts vergessen. $\begin{eqnarray} \phi(x,y)=\varphi_1(\gamma(x,y))=\varphi_1(x\otimes y)=\varphi_2(x\otimes y)=\varphi_2(\gamma(x,y))=\phi(x,y)\Rightarrow \varphi_1=\varphi_2 \end{eqnarray}$ , weil die Menge der $\begin{eqnarray} x\otimes y \end{eqnarray}$ ein Erzeugendensystem des Tensorprodukts ist. Ich vermute, dass das für Moduln genau so gilt. Leider haben die Mäuse meinen van der Waerden gefressen, da steht es bestimmt drin. Nun sind die Mäuse schlauer als ich.
27.03.2015, 12:55	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, entschuldige, dass ich mich nun so lange nicht hierauf gemeldet hatte. Ich musste meinen Laptop neu aufsetzen. Die Eindeutigkeit bei der universellen Eigenschaft bedeutet doch soviel wie "bis auf Isomorphie eindeutig" oder? Ich hatte in der mir zugrunde liegenden Definition die notwendige Bilinearität nicht gelesen. Daher auch hier nicht mit notiert. Wenn man aber so darüber nachdenkt, dann ist das eigentlich logisch. Mich würde auch mal ein konkretes Beispiel in der Darstellungstheorie interessieren. Im Prinzip kann ich hier auch ein Beispiel aus der linearen Algebra und Vektorräumen nehmen. Möglicherweise suche ich auch ein nicht-triviales Tensorprodukt, aus dem dann Eigenschaften hergeleitet werden, die auf der Eindeutigkeit beruhen. Und ja, bei Moduln gilt das ähnlich, nur sind hier die Mengen nicht mehr unbedingt endlich oder haben ein endliches Erzeugendensystem. Vom Van der Waerden habe ich auch schon gelesen. War das nicht ein grundlegendes Lehrbuch der Algebra? (Also sogar eines der ersten und umfangreichsten überhaupt?) Auf Scribd kann man eine Onlineversion des 2. Bandes sehen. Ich vermute sogar stark, dass auf irgendwelchen Servern auch die anderen Digitalisierungen zu finden sind. :-) Hauptsache die Mäuse konnten das Wissen gut verdauen :-D Edit// Durch die Ergänzung dieser Definition ergibt für mich nun auch ein anderer Beweis sinn.. (Assoziativität des Tensorproduktes) Was so eine "Kleinigkeit" ausmachen kann..Vielen Dank also für diesen Hinweis!
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27.03.2015, 18:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die universelle Eigenschaft heißt auch universelle Abbildungseigenschaft (UAE), sie bezieht sich nicht auf die Eindeutigkeit des Tensorprodukts bis auf Isomorphie, sondern auf die eindeutige Faktorisierung jeder bilinearen Abbildung $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ in das Tensorprodukt $\begin{eqnarray} \gamma=\otimes \end{eqnarray}$ und die eindeutig gegebene nachgeschaltete lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ . Ich stelle mir das so vor, dass das Tensorprodukt hauptsächlich dazu dient, bilineare (allgemeiner : multilineare) Abbildungen durch wesentlich leichter verständliche lineare Abbildungen darzustellen. Viele oder wahrscheinlich sogar alle Eigenschaften des Tensorprodukts lassen sich bequem auf der Grundlage der UAE beweisen. Dazu gehört die Eindeutigkeit bis auf Isomorphie (was ja in der Algebra die einzig wichtige und einzig mögliche Eindeutigkeit ist), nützliche Eigenschaften wie Kommutativität $\begin{eqnarray} M\otimes N\cong N\otimes M \end{eqnarray}$ , Assoziativität $\begin{eqnarray} (L\otimes M)\otimes N\cong L\otimes (M\otimes N) \end{eqnarray}$ und vieles mehr. Alles das lässt sich auch beweisen, indem man das Tensorprodukt $\begin{eqnarray} M\otimes N \end{eqnarray}$ als geeigneten Quotientenraum des kartesischen Produkts $\begin{eqnarray} (M\times N)/U \end{eqnarray}$ konstruktiv definiert. Dannn kann man alle algebraischen Eigenschaften und die UAE beweisen, aber das ist viel mühsamer und langwieriger (um nicht zu sagen langweiliger). B.L. van der Waerden ( http://de.wikipedia.org/wiki/Bartel_Leendert_van_der_Waerden ) war niederländischer Mathematiker und einer der Noether-Jungs, sein zweibändiges Algebra-Lehrbuch war der Hit im 20. Jahrhundert, weil darin erstmals die Algebra als Theorie algebraischer Strukturen aufgebaut wurde. Noch weit verehrungswürdiger seine Lehrerin Emmy Noether ( http://de.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether ) und der große David Hilbert ( http://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert ), alle in Göttingen (wo sonst um 1900).

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