Wahrscheinlichkeit X<=Y

25.03.2015, 22:12	Ant-Man	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit X<=Y Meine Frage: Hi. Ich habe folgende Frage. Seine X und Y unabhängige Zufallsvariablen mit Dichten $\begin{eqnarray} f_X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_Y \end{eqnarray}$ . Was ist P(X<=Y)? Meine Ideen: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> P(X\leq Y)=\int_{\{X\leq Y\}} 1 dP =\int_{\{x\leq y\}} 1dP_{(X,Y)}=\int_{\{x\leq y\}} f_{(X,Y)}(x,y) d(x,y)=\int_{\{x\leq y\}}f_X(x)f_Y(y)d(x,y) \\ <br /> =\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} I_{\{x\leq y\}}(x,y)f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int_{\mathbb{R}}f_Y(y)\int_{\mathbb{R}} I_{\{x\leq y\}}(x,y)f_X(x)dxdy=\int_{\mathbb{R}}f_Y(y)\Big(\int_0^y f_X(x)dx\Big)dy <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Nun berechnet man zuerst das innere Integral, dann das äußere. In der Rechnung sind einmal die Unabhängigkeit eingegangen sowie der Satz von Fubini. Sind die Schritte bis hierhin alle korrekt?
26.03.2015, 14:54	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ist Ok. In der Rechnung etwas allgemeiner arrangiert gilt dann sogar $\begin{align} P(X\leq Y) = \int\limits_{\mathbb{R}} F_X(y) f_Y(y) ~ \dd y \end{align}$ für beliebig (also nicht notwendig stetig) verteilte $\begin{align} X \end{align}$ mit Verteilungsfunktion $\begin{align} F_X \end{align}$ . Alternativ wäre auch denkbar (Vertauschung Fubini) $\begin{align} P(X\leq Y) = \int\limits_{\mathbb{R}} (1-F_Y(x)) f_X(x) ~ \dd x \end{align}$ für beliebig verteilte $\begin{align} Y \end{align}$ mit Verteilungsfunktion $\begin{align} F_Y \end{align}$ . D.h., es müssen nicht beide Zufallsgrößen stetig verteilt sein - eine reicht.
27.03.2015, 09:06	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
Müsste nicht das letzte integral im ersten Beitrag von $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ gehen? Gruß
27.03.2015, 13:05	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt, da hab ich nicht sorgfältig genug bis zur letzten Formel gelesen - danke für die Aufmerksamkeit. So wie es oben steht, mit unterer Grenze 0, stimmt es nur für positive Zufallsgrößen $\begin{align} X \end{align}$ .

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