Funktionentheorie, analytische Fortsetzung

27.03.2015, 09:47

Tyr

Funktionentheorie, analytische Fortsetzung

Hallo liebes Forum,

ich lerne gerade für eine Funktionentheorieklausur und komme mit einem Beispiel nicht klar. Zunächst einmal die Definition die mir Probleme macht:

Sei $\begin{eqnarray*} U\subset \mathbb C \end{eqnarray*}$ offen. Ein Funktionselement in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist ein Paar $\begin{eqnarray*} (f,D),D\subset U \end{eqnarray*}$ einer auf einer offenen Kreisscheibe holomorphen Funktion $\begin{eqnarray*} f: D\rightarrow\mathbb C \end{eqnarray*}$ . Zwei Funktionselemente $\begin{eqnarray*} (f_1,D_1),(f_2,D_2) \end{eqnarray*}$ nennen wir direkte analytische Fortsetzung voneinander, wenn $\begin{eqnarray*} D_1\cap D_2\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_1(z)=f_2(z)\forall z\in D_1\cap D_2 \end{eqnarray*}$ , Schreibweise: $\begin{eqnarray*} (f_1,D_1)\asymp (f_2,D_2) \end{eqnarray*}$ .
Gibt es eine Kette $\begin{eqnarray*} (f_1,D_1)\dots,(f_n,D_n) \end{eqnarray*}$ von Funktionselementen in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} (f_j,D_j)\asymp (f_{j+1},D_{j+1}),j=1,\dots n-1 \end{eqnarray*}$ so nennen wir $\begin{eqnarray*} (f_n,D_n) \end{eqnarray*}$ eine analytische Fortsetzung von $\begin{eqnarray*} (f_1,D_1) \end{eqnarray*}$ .

Soweit die Definition. In dem Beispiel werden jetzt die vier Kreisscheiben $\begin{eqnarray*} K_1(1),K_1(i),K_1(-1),K_1(-i) \end{eqnarray*}$ betrachtet und gesagt, dass genau ein Funktionselement mit $\begin{eqnarray*} (f_1,K_1(1)) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_1(z)^2=z,f_1(1)=1 \end{eqnarray*}$ existiert. Dann wird weiter gesagt, dass es genau ein $\begin{eqnarray*} (f_2,K_1(i)) \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f_2(z)^2=z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_1=f_2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} K_1(1)\cap K_1(i) \end{eqnarray*}$ .
Erste Frage: somit ist doch $\begin{eqnarray*} (f_1,K_1(1))\asymp (f_2,K_1(i)) \end{eqnarray*}$ , oder?

Wenn das stimmt: im Beispiel wird dann weiter gesagt, dass es eine direkte analytische Fortsetzung $\begin{eqnarray*} (f_2,K_1(i))\asymp (f_3,K_1(-1)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (f_3,K_1(-1))\asymp (f_4,K_1(-i)) \end{eqnarray*}$ gibt, aber dass $\begin{eqnarray*} (f_1,K_1(1)) \end{eqnarray*}$ keine direkte analytische Fortsetzung von $\begin{eqnarray*} (f_4,K_1(-i)) \end{eqnarray*}$ ist sondern stattdessen $\begin{eqnarray*} f_4(z)=-f_1(z)\forall z\in K_1(-i)\cap K_1(1) \end{eqnarray*}$ gilt.

Zweite Frage: so wie ich die Definition verstehe, ist nur "das unmittelbar anschließende" Funktionselement eine direkte analytische Fortsetzung, das letzte Funktionselement einer passenden Kette ist dann nur noch eine analytische Fortsetzung (für das aber das gleiche Symbol verwendet wird). Ist in diesem Beispiel damit dann aber $\begin{eqnarray*} (f_4,K_1(-i)) \end{eqnarray*}$ eine analytische Fortsetzung von $\begin{eqnarray*} (f_1,K_1(1)) \end{eqnarray*}$ ?

Dritte Frage: woher weiß man, dass $\begin{eqnarray*} f_4(z)=-f_1(z) \end{eqnarray*}$ ist?

27.03.2015, 09:59

Captain Kirk

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Hallo,

- ja
- ja
- das sollte eigentlich im Beispiel erklärt worden sein. Die Fortsetzungen wurden ja auch irgendwie konstruiert.

27.03.2015, 10:03

Tyr

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Danke für die schnelle Rückmeldung!

Die Fortsetzungen wurden im Beispiel leider nicht konkret angegeben, es wurde nur gesagt "Es gibt ein $\begin{eqnarray*} (f_2,K_1(i)) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_2(z)^2=z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_1=f_2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} D_1\cap D_2 \end{eqnarray*}$ sowie ein $\begin{eqnarray*} (f_3,K_1(-1) \end{eqnarray*}$ mit [latex]f_3(z)^2=z und...", wie diese Funktionen konkret definiert sind, wird nicht angegeben.

Meine Überlegung bisher ist, dass es mit der Wurzel bzw. dem Zweig des Logarithmus zu tun haben muss, der für die Wurzel verwendet wird, kommt man damit hin?

27.03.2015, 10:14

Captain Kirk

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} f_3(z)^2=z \end{eqnarray*}$ und...

Was ist denn das ... ?
f(1)=1 kann es nicht sein, denn $\begin{eqnarray*} f_3(1) \end{eqnarray*}$ ist nicht definiert.

27.03.2015, 10:18

Tyr

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Die ... sollten andeuten, dass diese Argumentation fortgesetzt wird.

Es gibt ein $\begin{eqnarray*} (f_2,K_1(i)) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_2(z)^2=z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_1=f_2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} D_1\cap D_2 \end{eqnarray*}$ sowie ein $\begin{eqnarray*} (f_3,K_1(-1) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_3(z)^2=z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_3=f_2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} D_2\cap D_3 \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} (f_4,D_4) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_4(z)^2=z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_4=f_3 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} D_3\cap D_4 \end{eqnarray*}$ .

Mehr wird zur Konstruktion leider nicht gesagt.

27.03.2015, 10:52

Captain Kirk

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Der "Grund" warum das hier eintritt ist, dass die komplexe Wurzel zwei Zweige hat.

Wie man das genau argumentiert hängt massiv davon ab, was man bereits gezeigt hat und wie genau man sein will/soll.

Es ist $\begin{eqnarray*} f_1(r e^{i \varphi} ) = \sqrt{r} e^{i/2 \varphi} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq \varphi \leq \pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_1(r e^{i \varphi} ) = \sqrt{r} e^{i /2\varphi + i \pi } \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \pi \leq \varphi \leq 2\pi \end{eqnarray*}$ aus Stetigkeitsgründen.
Für $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ usw. setzt sich die erste Eigenschaft fort, also schlußendlich:
$\begin{eqnarray*} f_4(r e^{i \varphi} ) = \sqrt{r} e^{i/2 \varphi} \end{eqnarray*}$

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