Torsion orientierungsumkehrend

27.03.2015, 12:12	Gast736	Auf diesen Beitrag antworten »
Torsion orientierungsumkehrend Meine Frage: Servus, und zwar habe ich gelesen, dass die Torsion bei einer orientierungsumkehrenden Parametrisierung das Vorzeichen wechselt. Nun habe ich das ganze mal durchgerechnet mit der Umparametrisierung $\begin{eqnarray} \phi(t)=-t \end{eqnarray}$ und somit erhalte ich $\begin{eqnarray} \tilde{c}(t)=c(\phi(t))=c(-t) \end{eqnarray}$ und die Ableitungen $\begin{eqnarray} \dot{\tilde{c}}=-\dot{c}(-t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \ddot{\tilde{c}}(t)=\ddot{c}(-t) \end{eqnarray}$ . Daher ändert sich auch der Normalenvektor nicht und es gilt $\begin{eqnarray} \tilde{n}(t)=n(-t) \end{eqnarray}$ . Allerdings ist $\begin{eqnarray} \dot{\tilde{n}}(t)=-n(-t) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Wenn ich nun allerdings den Binomialenvektor bestimme erhalte ich, da das Kreuzprodukt Vorzeichen erhält $\begin{eqnarray} \tilde{b}(t)=-b(-t) \end{eqnarray}$ und damit für die Torsion $\begin{eqnarray} \tilde{\tau}=<\dot{\tilde{n}}(t),\tilde{b}(t)>=<-\dot{n}(-t),-b(-t)>=<\dot{n}(-t),b(-t)>=\tau(-t) \end{eqnarray}$ und somit würde sich das Vorzeichen der Torsion nicht ändern. Weiß hier einer weiter? Danke!
30.03.2015, 09:42	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Torsion einer Raumkurve $\begin{eqnarray} \vec x(t) \end{eqnarray}$ mit beliebigem Parameter t lautet $\begin{eqnarray} \tau=\frac{(\dot {\vec x}\times \ddot {\vec x})\cdot \dddot {\vec x}}{\|\dot{\vec x}\times \ddot{\vec x}\|^2} \end{eqnarray}$ Eine Umparametrisierung $\begin{eqnarray} t\rightarrow -t \end{eqnarray}$ ändert nur die Vorzeichen der 1. und 3.Ableitungen $\begin{eqnarray} \dot {\vec x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \dddot {\vec x} \end{eqnarray}$ . Dagegen bleibt die 2.Ableitung $\begin{eqnarray} \ddot {\vec x} \end{eqnarray}$ unverändert. Folglich ändert die Torsion dabei nicht ihr Vorzeichen. --------------------------------- Übrigens ist die Torsion eine geometrische Größe mit einer anschaulichen Bedeuteung und mit "absolutem" Charakter. Solche Größen sind immer unabhängig von der Parametrisierung. Das ist ja gerade der Sinne der Geometrie, dass die darin definierten Größen "Volumen", "Länge", "Krümmung" ... NICHT von der Parametrisierung anhängen sollen. Das Gegenteil wäre schlimm.
30.03.2015, 11:32	Gast736	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann muss ich mich wohl verlesen habe. Das heißt es ist richtig, dass sich bei einer orientierungsumkehrenden Umparametrisierung von Raumkurven weder die Krümmung noch die Torsion ändert? Im Prinzip ist dann auch alles in meinem oberen Beweis korrekt, oder? Ich bin eben von Raumkurven ausgegangen, die nach Bogenlänge parametrisiert sind.

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