Holomorphe Funktion

27.03.2015, 13:21

Romaxx

Holomorphe Funktion

Hallo zusammen,

folgende Aufgabe:

Für die holomorphe Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb C\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ gelte $\begin{eqnarray*} f(z)=f(z+2\pi)=f(z+2\pi i) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist konstant auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ .

Habe schon versucht mit Cauchy-Riemann-Gleichungen zu argumentieren.
Genauso mit Potenzreihendarstellung.

Komme hier nicht weiter.

27.03.2015, 13:46

10001000Nick1

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Der Satz von Liouville sollte dir weiterhelfen. smile

27.03.2015, 14:04

Romaxx

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Nun gut, aber was liefert mir meine Schranke?

Das zu sehen bin ich weit entfernt.

27.03.2015, 14:10

10001000Nick1

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Zeige erstmal, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \{z\in\mathbb{C}\ |\ 0\leq\mathrm{Re}(z)\leq2\pi, 0\leq\mathrm{Im}(z)\leq2\pi\} \end{eqnarray*}$ beschränkt ist (bzw. musst du nur einen bekannten Satz anwenden).
Mit der Periodizität kannst du das dann auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ übertragen.

27.03.2015, 14:23

Romaxx

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Ok, was mir hierzu einfällt ist das Maximumsprinzip.

Nur wie anwenden??

Ich erkenne zudem noch keine Periodizität meiner Funktion f.

Sorry steh auf dem Schlauch.

27.03.2015, 14:30

10001000Nick1

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Der Satz, den ich meinte, stammt nicht aus der Funktionentheorie, sondern eher aus Analysis I. Der hat was mit stetigen Funktionen und kompakten Definitionsmengen zu tun. Augenzwinkern

Eine komplexe Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} f(z)=f(z+2\pi)=f(z+2\pi i) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ nennt man "doppelt-periodisch".

27.03.2015, 14:46

Romaxx

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Ah, ok, so einfach.

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist holomorph auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ .

Daher existiert der Funktionswert auf dem $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -Würfel ( $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ).

Dieser ist kompakt und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig.

Nach Satz von Weierstrass existiert das Maximum in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} |f(z)| \end{eqnarray*}$ .

Sei dieser Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

Jetzt muss das Periodizitätsargument kommen von dem ich nicht weiß was es ist.
(An dieser Stelle fällt mir nur der Satz ein, dass das Maximum auf dem Rand liegen muss. Wohl eher unpassend hier.. Wie lautet nun dieses Periodizitätsargument?)

27.03.2015, 18:56

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Romaxx
(An dieser Stelle fällt mir nur der Satz ein, dass das Maximum auf dem Rand liegen muss.

Das stimmt zwar, bringt uns hier aber nichts. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Romaxx
Jetzt muss das Periodizitätsargument kommen von dem ich nicht weiß was es ist.

Dann überleg mal, welche Funktionswerte $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf der Menge $\begin{eqnarray*} \{z\in\mathbb{C}\ |\ 2\pi\leq\mathrm{Re}(z)\leq 4\pi, 0\leq\mathrm{Im}(z)\leq 2\pi\} \end{eqnarray*}$ .

Oder auf $\begin{eqnarray*} \{z\in\mathbb{C}\ |\ 0\leq\mathrm{Re}(z)\leq 2\pi, 2\pi\leq\mathrm{Im}(z)\leq 4\pi\} \end{eqnarray*}$ .

Oder allgemeiner auf der Menge $\begin{eqnarray*} \{z\in\mathbb{C}\ |\ n\cdot 2\pi\leq\mathrm{Re}(z)\leq (n+1)\cdot 2\pi, m\cdot 2\pi\leq\mathrm{Im}(z)\leq (m+1)\cdot 2\pi\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m,n\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

27.03.2015, 19:37

Romaxx

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Ah ok, ich meine es verstanden zu haben.

Auf sowas muss einer mal von alleine kommen ^^.

Das heisst aufgrund dieser Voraussetzung:

Für die holomorphe Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb C\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ gelte $\begin{eqnarray*} f(z)=f(z+2\pi)=f(z+2\pi i) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ .

wiederholt sich prinzipiell alle $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -Würfel der Bildbereich.

Ist nun der $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -Würfel schon beschränkt, ist es ganz C und damit Liouville anwendbar.

Coole Sache.

Kann man das auch formal irgendwie zeigen?

28.03.2015, 00:43

RavenOnJ

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Zitat:

Original von 10001000Nick1

Zitat:

Original von Romaxx
(An dieser Stelle fällt mir nur der Satz ein, dass das Maximum auf dem Rand liegen muss.

Das stimmt zwar, bringt uns hier aber nichts. Augenzwinkern

Bringt schon was, man kann nämlich das $\begin{align*} 2\pi \end{align*}$ -Quadrat beliebig legen. Immer muss das Maximum auf dem Rand sein. Also muss das Maximum immer dasselbe sein und eine Funktion, die eine lokal abhängige, nicht-konstante Phase hat, aber betragsmäßig konstant in der ganzen komplexen Ebene ist, kann nicht holomorph sein. Kann man mit Cauchy-Riemann zeigen. Auch klar wegen Liouville.

28.03.2015, 11:36

Romaxx

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Nun gut.

Sobald man das Periodizitätsargument hat führen viele Wege nach Rom.

Gibt es auch eine formalen Beweis dieses Periodizitätsarguments?

28.03.2015, 11:58

Iorek

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Zitat:

Original von Romaxx
Gibt es auch eine formalen Bweis dieses Periodizitätsarguments?

Das formal korrekt aufzuschreiben sollte eigentlich deine Aufgabe sein. Die Idee dafür hast du ja selber auch schon oben formuliert. Augenzwinkern

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