Lösungen einer Gleichung 5. Grades

28.03.2015, 14:55

Boldgo

Lösungen einer Gleichung 5. Grades

Meine Frage:
Berechne die Wurzeln folgender Gleichung:

$\begin{eqnarray*} z^5+2z^4-z^3+6z-4=0 \end{eqnarray*}$

in den Lehrbüchern heißt es immer: erste Nullstelle durch probieren gefunden.
Deswegen war mein Ansatz probieren. Leider ohne Erfolg.
Ich muss die Polynomfunktion irgendwie soweit reduzieren, bis ich die pq-Formel anwenden kann.
Wie mach ich das am besten?

Meine Ideen:
Bei den vorherigen Aufgaben hat mein Ansatz, das probieren, funktioniert. Jetzt leider nicht mehr.

Edt (mY+): LaTex-Tags eingefügt.

28.03.2015, 15:53

mYthos

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Das Probieren funktioniert hier nicht, da es keine ganzzahlige Nullstellen gibt; übrigens sind 4 komplexe Nullstellen dabei.

Stimmt die Angabe? Mit $\begin{eqnarray*} -2z^4 \end{eqnarray*}$ im Polynom sieht die Sache besser aus ...
------------

Und wie kommst du auf die hier kaum zutreffende Überschrift "Komplexe Zahlen radizieren" ?
Ich werde den Titel ändern.

mY+

28.03.2015, 16:43

Boldgo

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Es geht um negative Wurzeln, also komplexe Zahlen. Die Überschrift ist zutreffend.
Die Angabe +2z^4 ist korrekt.
Wie kann ich da vorgehen?

28.03.2015, 19:51

Elvis

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Gleichungen 5. Grades können nicht immer durch Wurzelausdrücke gelöst werden, weil die alternierende Gruppe $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ , eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ , nicht auflösbar ist für alle $\begin{eqnarray*} n\ge 5 \end{eqnarray*}$ .
Es gibt eine Möglichkeit, zu entscheiden, ob eine Gleichung 5. Grades durch Wurzelausdrücke lösbar ist, die Durchführung kann dann sehr kompliziert werden, siehe hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichung_f....BCnften_Grades . Wenn nicht, helfen nur numerische Verfahren.

Wenn sich jemand die Mühe macht, für diese gegebene Gleichung die Lösbarkeit zu untersuchen und ggf. die Lösungen zu berechnen, wäre ich an Details der Arbeit sehr interessiert. In diesem Zusammenhang möchte ich fragen, ob jemand ein CAS hat oder kennt, mit dem man nicht nur die Lösungen bekommt, sondern im Falle der Auflösbarkeit in die Lösungswege Einblick erhält.

28.03.2015, 21:55

mYthos

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Zitat:

Original von Boldgo
Es geht um negative Wurzeln, also komplexe Zahlen. Die Überschrift ist zutreffend.
...

Nein, das ist sie meines Erachtens nicht.
Wenn schon, dann hast du anstatt "negative Wurzeln" wohl Wurzeln aus negativen Zahlen gemeint.
Und Wurzeln aus negativen Zahlen sind rein imaginär (das Quadrat einer komplexen Zahl ist im Allgemeinen wieder komplex)

Also bleiben wir bei "Lösung einer Gleichung 5. Grades", das trifft den Kern besser.

mY+

28.03.2015, 22:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von mYthos
Stimmt die Angabe? Mit $\begin{eqnarray*} -2z^4 \end{eqnarray*}$ im Polynom sieht die Sache besser aus ...

Zitat:

Original von Boldgo
Die Angabe +2z^4 ist korrekt.

Nun, dann ein weiterer "Versuch":

Stimmt auch die Angabe $\begin{align*} -4 \end{align*}$ am Ende, d.h., ist es nicht doch $\begin{align*} +4 \end{align*}$ ?

28.03.2015, 23:17

Dopap

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Version 1 (-4) ist völlig nichtssagend.
Version 2 (+4) sieht aber aus wie von Menschenhand gemacht.

29.03.2015, 12:54

Boldgo

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Erstmal Entschuldigung für meine undeutliche mathematische Grammatik.
Ich arbeite daran und ich habe mich davon irritieren lassen, dass es sich um Gleichungen mit komplexen Zahlen handelt.
Die Überschrift passt also wirklich besser mYthos.

Alle Werte und Vorzeichen dieser Gleichung sind korrekt. Es ist -4.
Ich würde gern wissen, wie Ihr (Dopap ; HALL 9000) erkennt, dass es mit +4 einfacher wäre, oder woran mYthos
sieht, dass mit -2z^4 eine Lösung möglich wäre.
Die Gleichung hat mein Professor selbst erstellt. Wieso soll diese Gleichung nichtssagend sein Dopap?
Und woran erkennst du das?

edit:

Elvis, die Aufgabenstellung lautet: Berechnen sie alle Wurzeln folgender Gleichungen.

29.03.2015, 13:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von Boldgo
Ich würde gern wissen, wie Ihr (Dopap ; HALL 9000) erkennt, dass es mit +4 einfacher wäre

Bei $\begin{align*} z^5-2z^4-z^3+6z-4=0 \end{align*}$ funktioniert eben das Prinzip

Zitat:

Original von Boldgo
in den Lehrbüchern heißt es immer: erste Nullstelle durch probieren gefunden.

tatsächlich liegen sogar alle Nullstellen in $\begin{align*} \mathbb{Z}[i] \end{align*}$ .

Und mit $\begin{align*} z=-u \end{align*}$ geht diese Gleichung über in

$\begin{align*} u^5+2u^4-u^3+6u+4=0 \end{align*}$ ,

was ja dann mein Rateversuch war. Augenzwinkern

Und da Schul- und Uniaufgaben gewöhnlich so konstruiert sind, lag die Vermutung nahe, dass du dich verschrieben hast. Aber da du das so beharrlich verneinst, scheint es sich um eine Numerikaufgabe zu handeln (Näherungslösungen bestimmen) - oder dein Prof hat sich verschrieben. Augenzwinkern

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