Vektoren aus Beträgen und Winkel berechnen

28.03.2015, 19:00

Marsuxxx

Vektoren aus Beträgen und Winkel berechnen

Meine Frage:
Zwei Vektoren haben die Beträge 2 und 4 und schließen einen Winkel von 30° ein. Wie groß sind die Beträge ihrer Summe und ihrer Differenz?

Meine Ideen:
Im Anhang mein Lösungsansatz. Ich komme dann aber nicht weiter, weil ich zu viele Unbekannte habe ... .

28.03.2015, 19:23

Elvis

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Du kannst 2 Vektoren in die x,y-Ebene legen, dann werden es schon deutlich weniger Variablen. Nichts hindert dich daran, den einen Vektor auf die x-Achse zu legen, also z.B. $\begin{eqnarray*} a=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Dann hätte schon Euklid die Lösung berechnen können (vermute ich), und du kannst es auch.

28.03.2015, 19:39

riwe

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du kannst das Problem aber auch ganz allgemein lösen mit

$\begin{eqnarray*} cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{2\cdot 4} \end{eqnarray*}$

womit du den Wert des Skalarproduktes kennst Augenzwinkern

und damit kannst du ganz leicht die gewünschte Summe bzw. Differenz bestimmen.

29.03.2015, 17:01

Marsuxxx

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Vielen Dank für eure Antworten. Also die erste Variante kann ich gut nachvollziehen und komme dann auch zu einem Ergebnis.

Mich würde aber trotzdem mal noch die allgemeine Lösung interessieren. Ok, jetzt weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot \vec{b} =4\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ist. Aber wie komme ich jetzt auf die gesuchte Summe bzw. Differenz? Da brauch ich dann noch die Einzelkomponenten ...

29.03.2015, 17:25

riwe

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$\begin{eqnarray*} |\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{(\vec{a}+\vec{b})^2} \end{eqnarray*}$

wenn du nun quadrierst, kennst du alle Werte unter der Wurzel Augenzwinkern

(da du ja bereits den Wert des Skalarproduktes berechnet hast)

29.03.2015, 18:41

Marsuxxx

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Zitat:

Original von riwe
$\begin{eqnarray*} |\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{(\vec{a}+\vec{b})^2} \end{eqnarray*}$

wenn du nun quadrierst, kennst du alle Werte unter der Wurzel Augenzwinkern

(da du ja bereits den Wert des Skalarproduktes berechnet hast)

Irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlau. Kannst du diesen Schritt bitte etwas ausfühlicher erklären? Unter der Wurzel habe ich jetzt eine binomische Formel. Aber was hat das mit dem Skalarprodukt zu tun?

Vielen Dank für die Hilfe!

29.03.2015, 19:09

riwe

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ohjegerle

du sagst es eh selbst: binomische Formel, die mußt du halt AUSFÜHREN!

$\begin{eqnarray*} (\vec{a}+\vec{b})^2=\vec{a}^2+2\cdot\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}^2 \end{eqnarray*}$

siehst du jetzt das Skalarprodukt verwirrt

29.03.2015, 19:52

Marsuxxx

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Ach so, ich hätte die einzelnen Komponenten quadriert, also (ax+bx)² + (ay+by)² + (az+bz)². Und da hätte ich das Skalarprodukt nie erkannt. Ups

Und was setze ich für $\begin{eqnarray*} \vec{a}^{2} \end{eqnarray*}$ ein? Das ist doch nicht das gleiche wie $\begin{eqnarray*} |\vec{a}|^{2} \end{eqnarray*}$ verwirrt

Vielleicht kannst du bitte mal das Endergebnis posten posten, bevor ich dich noch mehrmals nerve ... Vielen Dank!

29.03.2015, 19:59

riwe

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Zitat:

Original von Marsuxxx
Ach so, ich hätte die einzelnen Komponenten quadriert, also (ax+bx)² + (ay+by)² + (az+bz)². Und da hätte ich das Skalarprodukt nie erkannt. Ups

Und was setze ich für $\begin{eqnarray*} \vec{a}^{2} \end{eqnarray*}$ ein? Das ist doch nicht das gleiche wie $\begin{eqnarray*} |\vec{a}|^{2} \end{eqnarray*}$ verwirrt

Vielleicht kannst du bitte mal das Endergebnis posten posten, bevor ich dich noch mehrmals nerve ... Vielen Dank!

na was denn sonst, daher steht unter der wurzel

$\begin{eqnarray*} |\vec{a}\pm\vec{b}|=\sqrt{4\pm8\cdot\sqrt{3}+16} \end{eqnarray*}$

siehe Bilderl mit dem Beispiel von Elvis Augenzwinkern

29.03.2015, 20:06

Marsuxxx

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Ok, da denke ich viel zu kompliziert. Eigentlich ist die Aufgabe ja gar nicht so schwer.

Vielen Dank für die Hilfe.

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