Sigma-Algebra auf Einheitskreisscheibe (Dartscheibe)

29.03.2015, 14:04

Petergriffin

Sigma-Algebra auf Einheitskreisscheibe (Dartscheibe)

Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine Problem mit einer recht grundlegenden Aufgabe in der stochastischen Maßtheorie mit der ich nicht weiterkomme.
Aufgabe ist folgendes:
Man möchte quasi ein wahrscheinlichkeitstheoretisches Fundament für das Dartspiel haben, gegeben ist eine Kreisscheibe und man soll zunächst eine Sigma-Agebra definieren.

Meine Ideen:
Mein erster Ansatz ist, dass wir unseren Wsk-Raum (also die Dartscheibe) $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ definieren als $\begin{eqnarray*} \left\{ (x,y)\subset \mathbb R^2:x^2+y^2\leq 1\right\} . \end{eqnarray*}$
Der nächste Schritt wäre ja eigentlich, die Borel-sigma-Algebra darauf zu verwenden, sprich $\begin{eqnarray*} \left\{ (a,b)\times(c,d)\subset \Omega\right\}. \end{eqnarray*}$
Mein Problem ist jetzt aber, wie entscheide ich ob ein Pfeil zB in die 20 oder die 3 fliegt...irgendwie muss man da ja wohl mit Winkeln arbeiten aber mir erschließt sich das nicht. Für Ansätze wäre ich sehr dankbar!

MfG Petergriffin

29.03.2015, 14:17

Captain Kirk

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Hallo,

Polarkoordinaten helfen.

Wobei wenn es dir wirklich nur um ein Dartspiel geht (je nachdem was genau hier modelliert werden soll):
Du hast nur endlich viele Ergebnisse. Da tät's auch eine endliche sigma-Algebra.

30.03.2015, 10:34

Petergriffin

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Ok, und wie soll diese endliche sigma-Algebra aussehen?

Ich brauche dann irgendwelche Argumente, warum der Pfeil nun in der 20 gelandet ist...
Sprich irgendeine Art Projektion auf die Ränder der Felder, oder? Wüsste nur nicht wie die aussehen kann.

MfG

30.03.2015, 10:37

Petergriffin

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Zitat:

Original von Captain Kirk
Hallo,

Polarkoordinaten helfen.

Wobei wenn es dir wirklich nur um ein Dartspiel geht (je nachdem was genau hier modelliert werden soll):
Du hast nur endlich viele Ergebnisse. Da tät's auch eine endliche sigma-Algebra.

Ok und wie soll diese endliche Sigma-Algebra aussehen?
Ich brauche dann irgendwelche Argumente, warum der Pfeil nun in der 20 gelandet ist...
Sprich irgendeine Art Projektion auf die Ränder der Felder, oder? Wüsste nur nicht wie die aussehen kann.

MfG

30.03.2015, 11:28

Captain Kirk

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Zitat:

Ok und wie soll diese endliche Sigma-Algebra aussehen?

Wenn du endliche viele Ergebnisse $\begin{eqnarray*} \Omega =\{ \omega_1 , \ldots , \omega_n \} \end{eqnarray*}$ hast ist $\begin{eqnarray*} \mathcal P ( \Omega) \end{eqnarray*}$ eine sinnvolle sigma-Algebra.

Ob dir das bei deiner Fragestellung hilft, hängt davon ab was exakt zu modellieren ist.

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