Wahrscheinlichkeit dafür, dass Abstand zweier multivariat normalverteilter Positionen kleiner R ist

29.03.2015, 17:22

AutonomousDrive

Wahrscheinlichkeit dafür, dass Abstand zweier multivariat normalverteilter Positionen kleiner R ist

Meine Frage:
Hallo,

hoffentlich kann mir jemand bei diesem Problem helfen:

Gegeben sind zwei multivariate Normalverteilungen, die jeweils zwei unsicherheitsbehaftete Fahrzeugkoordinaten darstellen sollen (zwei ellipsenförmige Gaußglocken)

$\begin{eqnarray*} X \sim N(\mu_X,\Sigma_X) \text{ mit } X=\begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \end{pmatrix},\mu_X=\begin{pmatrix} \mu_{X,1} \\ \mu_{X,2} \end{pmatrix} \text{ und } \Sigma_X=\begin{pmatrix} \Sigma_{X,11} & \Sigma_{X,12} \\ \Sigma_{X,21} & \Sigma_{X,22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} Y \sim N(\mu_Y,\Sigma_Y) \text{ mit } Y=\begin{pmatrix} Y_1 \\ Y_2 \end{pmatrix},\mu_Y=\begin{pmatrix} \mu_{Y,1} \\ \mu_{Y,2} \end{pmatrix} \text{ und } \Sigma_Y=\begin{pmatrix} \Sigma_{Y,11} & \Sigma_{Y,12} \\ \Sigma_{Y,21} & \Sigma_{Y,22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun suche ich die wahrscheinlichkeit für:

$\begin{eqnarray*} P( {(X_1-Y_1)}^{2} + {(X_2-Y_2)}^{2} \leq R^{2} ) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ist es möglich Doppelintegral über eine Verbunddichte zu erzeugen?

Mein Problem ist, dass $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Y_2 \end{eqnarray*}$ korreliert ist.

Ansonsten hätte man vll. die Faltung anwenden können. Gehe ich da richtig in der Annahme?

Vielen Dank für eure Hilfe schonmal.

29.03.2015, 17:51

HAL 9000

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Reell betrachtet ist es ja wohl eher ein Vierfach- denn eine Doppelintegral, und zwar

$\begin{align*} \frac{1}{(2\pi)^2 \sqrt{\left|\Sigma_X\right|\cdot \left|\Sigma_Y\right|}} \iint\limits_{\mathbb{R}^2} \iint\limits_{\mathbb{R}^2} 1_{\{\|x-y\|^2\leq R^2\}}\cdot \exp\left\{ -\frac{1}{2} \left( (x-\mu_X)^T\Sigma_X^{-1}(x-\mu_X) + (y-\mu_Y)^T\Sigma_Y^{-1}(y-\mu_X)\right) \right\} ~ \dd x ~ \dd y \end{align*}$

02.04.2015, 17:30

AutonomousDrive

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Wahrscheinlichkeit dafür, dass Abstand zweier multivariat normalverteilter Positionen kleiner R ist
Hey, danke für die schnelle Antwort. Ja richtig, natürlich ein Vierfachintegral!

Die Verbunddichte ist dann also die Faltung beider Normalverteilungen. Allerdings ist mir dann immer noch unklar, welche Integrationsgrenzen ich wählen muss. Und was ist mit dem Faktor $\begin{eqnarray*} 1_{\left\{ {\parallel x-y \parallel}^2 \leq {R}^2 \right\} } \end{eqnarray*}$ gemeint?

02.04.2015, 19:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von AutonomousDrive
Und was ist mit dem Faktor $\begin{eqnarray*} 1_{\left\{ {\parallel x-y \parallel}^2 \leq {R}^2 \right\} } \end{eqnarray*}$ gemeint?

Eine übliche Notation für eine Indikatorfunktion: Gemeint ist

$\begin{align*} 1_{\left\{ \|x-y\|^2 \leq R^2 \right\}} = \begin{cases} 1 & \;\mbox{falls}\; \|x-y\|^2 \leq R^2 \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{align*}$ .

es ist ja gemäß euklidischer Norm $\begin{align*} \|x-y\|^2 = (x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2 \end{align*}$ .

Zitat:

Original von AutonomousDrive
Allerdings ist mir dann immer noch unklar, welche Integrationsgrenzen ich wählen muss.

Im Prinzip der gesamte $\begin{align*} \mathbb{R}^4 \end{align*}$ , allerdings musst du nur dort integrieren, wo die Indikatorfunktion gleich 1 ist:

Wenn wir etwa $\begin{align*} x_1,y_1 \end{align*}$ als "äußere" Integrationsvariablen nehmen, dann sind die inneren Integrationsvariablen $\begin{align*} x_2,y_2 \end{align*}$ auf einen Kreis beschränkbar, und zwar den mit Mittelpunkt $\begin{align*} (x_1,y_1) \end{align*}$ und Radius $\begin{align*} R \end{align*}$ .

Ich nehme an, du redest jetzt von numerischer Integration? Da die Normalverteilungsdichte an den Rändern stark abfällt, kannst du in diesem Fall auch den Integrationsbereich von $\begin{align*} x_1,y_1 \end{align*}$ endlich fassen, du musst natürlich den Fehler geeignet abschätzen, der durch das Weglassen der Außenbereiche entsteht, der sollte in der Größenordnung zum Fehler passen, den die numerische Integrationsmethode deiner Wahl sowieso noch hat. Augenzwinkern

23.04.2015, 10:01

AutonomousDrive

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Wahrscheinlichkeit dafür, dass Abstand zweier multivariat normalverteilter Positionen kleiner R ist
Hi,
Danke für die Hilfe!

Kann man die Integrationsgrenzen dann wie folgt angeben und die Indikatorfunktion weglassen?

$\begin{eqnarray*} a\left( x_{2}^{\ast},\bold{y}^{\ast} \right) = y_{1}^{\ast}-\sqrt{R^{2}-\left(x_{2}^{\ast}-y_{2}^{\ast}\right)^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b\left(x_{2}^{\ast},\bold{y}^{\ast}\right) = y_{1}^{\ast}+\sqrt{R^{2}-\left(x_{2}^{\ast}-y_{2}^{\ast}\right)^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c\left(y_{2}^{\ast}\right) = y_{2}^{\ast} - R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d\left(y_{2}^{\ast}\right) = y_{2}^{\ast} + R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma_{\bold{y},\text{eig}} = \sqrt{\text{max}\left(\text{eig}\left(\bold{\Sigma}_{\bold{y}}\right)\right)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e = y_{1} - k \sigma_{\bold{y},\text{eig}}, \quad f = y_{1} + k \sigma_{\bold{y},\text{eig}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g = y_{2} - k \sigma_{\bold{y},\text{eig}}, \quad h = y_{2} + k \sigma_{\bold{y},\text{eig}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P = \int\limits_{g}^{h} \, \int\limits_{e}^{f} \, \int\limits_{c\left(y_{2}^{\ast}\right)}^{d\left(y_{2}^{\ast}\right)} \, \int\limits_{a\left( x_{2}^{\ast},\bold{y}^{\ast} \right)}^{b\left(x_{2}^{\ast},\bold{y}^{\ast}\right)} p_{{R}_{2}}\left(\bold{x}^{\ast},\bold{x},\bold{\Sigma}_{\bold{x}}\right) p_{{R}_{2}}\left(\bold{y}^{\ast},\bold{y},\bold{\Sigma}_{\bold{y}}\right) \text{d}x_{1}^{\ast} \, \text{d}x_{2}^{\ast} \, \text{d}y_{1}^{\ast} \, \text{d}y_{2}^{\ast} \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeitsdichte $\begin{eqnarray*} p_{{R}_{2}}\left(\bold{x}^{\ast},\bold{x},\bold{\Sigma}_{\bold{x}}\right) \end{eqnarray*}$ soll nur die Abkürzung für die bivariate Normalverteilung sein.

Welche Literatur behandelt denn die Wahrscheinlichkeitsberechnung mit diesen Indikatorfunktionen. Der Ausdruck ist einleuchtend, allerdings wäre eine Quelle ganz nützlich.

Vielen Dank.

23.04.2015, 11:01

HAL 9000

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$\begin{align*} a,b,c,d \end{align*}$ sind richtig gewählt - das ist genau der Bereich, wo die Indikatorfunktion wirkt, d.h. gleich 1 ist.

Auch $\begin{eqnarray*} \sigma_{\bold{y},\text{eig}} = \sqrt{\text{max}\left(\text{eig}\left(\bold{\Sigma}_{\bold{y}}\right)\right)} \end{eqnarray*}$
sieht nach einer guten Wahl aus, um die "Ausdehnung" der y-Verteilung skalenmäßig abzuschätzen.

Allerdings hast du dich wohl bei e,f,g,h verschrieben, was den Mittelwert betrifft - anscheinend meinst du

$\begin{eqnarray*} e = \mu_{Y,1} - k\sigma_{\bold{y},\text{eig}}, \quad f = \mu_{Y,1} + k\sigma_{\bold{y},\text{eig}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g = \mu_{Y,2} - k\sigma_{\bold{y},\text{eig}}, \quad h = \mu_{Y,2} + k\sigma_{\bold{y},\text{eig}} \end{eqnarray*}$

Was die Wahl von $\begin{align*} k \end{align*}$ betrifft, da hast du vermutlich so an 4..5 gedacht, oder? verwirrt

Sollte für übliche Genauigkeitsanforderungen reichen.

P.S.: Ich wüsste nicht, dass es eigens für Indikatorfunktionen Literatur gibt - das ist ja nur ein eher technisches Hilfsmittel, um sowas geschlossen in einer Formel schreiben zu können. Es wundert mich ein wenig, dass du noch nie davon gehört hast - z.B. in der Maß- und Integrationstheorie ist das ein übliches Konstrukt, mit dem da von Anfang an gearbeitet wird.

05.05.2015, 16:41

AutonomousDrive

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Wahrscheinlichkeit dafür, dass Abstand zweier multivariat normalverteilter Positionen kleiner R ist
Super, vielen Dank! :-)

Was ich eigentlich nicht verstehe, ist die Multiplikation von den Wahrscheinlichkeitsdichten.

Mir ist noch nicht klar, wieso man die WahrscheinlichkeisDICHTEN hier innerhalb der Integrationsgrenzen multiplizieren darf, um auf die WAHRSCHEINLICHKEITEN zu kommen.

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass zwei Ereignisse gleichzeitig eintreten, muss man ja die Wahrscheinlichkeiten der Einzelereignisse multiplizieren.

Wenn man zuerst über die eine Dichte integrieren, dann über die andere Dichte integrieren und dann beide Wahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren würde (was natürlich wegen der abhängigen Integrationsgrenzen nicht gehen kann), dann könnte ich die Vorgehensweise nachvollziehen.

Hier ist es doch ähnlich... nur umgekehrt, oder? Die WahrscheinlichkeitsDICHTEN werden multipliziert und dann über das Indikatorgebiet integriert, um auf Wahrscheinlichkeiten zu kommen.

Aber warum das überhaupt erlaubt ist hätte ich gerne mal irgendwo nachgelesen. Irgendeine Herleitung dazu. Geht das mit jeder x-beliebigen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion?

Vielen Dank für die Hilfe nochmal.

05.05.2015, 16:47

HAL 9000

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Besitzt die Zufallsgröße (bzw. der Zufallsvektor) $\begin{align*} X \end{align*}$ die Dichte $\begin{align*} f_X(x) \end{align*}$ und analog Zufallsgröße (bzw. der Zufallsvektor) $\begin{align*} Y \end{align*}$ die Dichte $\begin{align*} f_Y(y) \end{align*}$ und sind beide voneinander unabhängig (!), so ist $\begin{align*} f_{X,Y}(x,y) = f_X(x)\cdot f_Y(y) \end{align*}$ die Dichte des aus beiden Teilkomponenten gebildeten neuen Zufallsvektors $\begin{align*} (X,Y) \end{align*}$ , siehe

http://de.wikipedia.org/wiki/Produktma%C3%9F

Das ganze wird hier gebraucht, weil es eben nicht einfach um $\begin{align*} P((X,Y)\in A\times B) = P(X\in A,Y\in B) = P(X\in A)\cdot P(Y\in B) \end{align*}$ geht, sondern um eine Wahrscheinlichkeit $\begin{align*} P((X,Y)\in M) \end{align*}$ mit einer Menge $\begin{align*} M \end{align*}$ , die sich eben nicht als kartesisches Produkt $\begin{align*} A\times B \end{align*}$ darstellen lässt!

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