Verständnisfragen zu: Bild, Rang, Kern, Dimension, lineare Hülle

29.03.2015, 19:56

MatheTobi94

Verständnisfragen zu: Bild, Rang, Kern, Dimension, lineare Hülle

Guten Abend liebes Matheboard,

vorab möchte ich mich schonmal für eventuel schiefgelaufene LaTeX-Matrizen entschuldigen, falls sie denn vorkommen. Ich brauche ein bischen Feedback von euch, ob ich wirklich verstanden habe, was Bild, Rang, Kern, Dimension und lineare Hülle sind.

Bild: Jede Matrix lässt sich als Linearkombination ihrer Spalteneinträge, multipliziert mit den kanonischen Einheitsvektoren des jeweiligen Vektorraumes, darstellen. => $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ macht im R^2 erstmal wenig Sinn. Das bedeutet dann ja, dass man bei der Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 10 & 11 & 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ *

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gut auf eine der ersten beiden Spalten verzichten kann, weil linear abhängig zueinander sind.

das Bild der Matrix M muss doch dann ein Untervektorraum von M sein, richtig? Spalte 1 und 3 bilden dann jeweils mit Parametern aus den Reellen Zahlen multipliziert (Lambda_1 * V_1,..., Lambda_n * V_N) die Lösungsmenge des Bildes, auch geschrieben Span<...> . Diese Lösungsmenge hat im aktuellen Fall 2 lin. unabh. Vektoren (2 = Rang der Matrix und Dimension des Bildes?). Diese müssen doch dann auch eine mögliche Basis des R^2 sein, oder?

Geometrisch gedeutet, müsste dann jeder zum Bild zugehöriger Vektor ein Vektor im R^2 sein, der auf einem unendlich langen Vektor, nämlich der linearen Hülle, liegt.(siehe Gedankengang Untervektorraum)

Der Kern ist definiert als ein Vektor V, der mit einer Matrix M multipliziert den Nullvektor ergibt. Erlaubt sind alle Vektoren außer der Nullvektor. Das muss doch wiederum bedeuten, dass die Spalten der Matrix linear abhängig zueinander sein müssen, was sich durch det(M)=0 prüfen lässt., oder?

Auch wenn das vielleicht mathematisch teilweise sehr grauenvoll ausgdrückt sein mag, hoffe ich, dass ihr mir weitere Tipps geben könnt smile

Vielen Dank

Edit: Die Formeln müssen noch in die entsprechenden LaTeX-Tags gesetzt werden. LG Iorek

30.03.2015, 09:32

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Verständnisfragen zu: Bild, Rang, Kern, Dimension, lineare Hülle
Ehrlich gesagt: wirklich viel von dem, was du sagen willst, habe ich nicht verstanden. Fangen wir mit dem mal an:

Zitat:

Original von MatheTobi94
Bild: Jede Matrix lässt sich als Linearkombination ihrer Spalteneinträge, multipliziert mit den kanonischen Einheitsvektoren des jeweiligen Vektorraumes, darstellen. => $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ macht im R^2 erstmal wenig Sinn.

Könntest du da deine Gedanken etwas ausführlicher erläutern?

30.03.2015, 16:20

MatheTobi94

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo klarsoweit,

tut mir leid, dass ich so umständlich formuliere, aber mir fehlen da glaub ich die Fachbegriffe. Ich versuchs mal ohne die Einheitsvektoren.

Gegeben sei folgende Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x & y & z\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann wäre die Menge alle Vektoren, die mit der Matrix darstellbar sind,
$\begin{eqnarray*} s * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t *\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und somit das Bild der Matrix.

weil der erste und dritte Spaltenvektor der Matrix linear abhängig zueinander und deshalb doch Teilmengen voneinander sind? ( x = 1/2z ). Es wäre doch Sinfrei, zwei linear abhängige Vektoren in einer Lösungsmenge anzugeben, da ein und der selbe Vektor durch sie dargestellt werden kann, oder?. Desweiteren müsste das Bild dieser Matrix eine mögliche Basis des R^2 sein Ich weiß nicht, wie ich das anders formulieren soll.

Danke schonmal für die Antwort smile

31.03.2015, 08:50

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MatheTobi94
dann wäre die Menge alle Vektoren, die mit der Matrix darstellbar sind,
$\begin{eqnarray*} s * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t *\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und somit das Bild der Matrix.

weil der erste und dritte Spaltenvektor der Matrix linear abhängig zueinander und deshalb doch Teilmengen voneinander sind?

Damit bin ich einverstanden.

Zitat:

Original von MatheTobi94
Desweiteren müsste das Bild dieser Matrix eine mögliche Basis des R^2 sein Ich weiß nicht, wie ich das anders formulieren soll.

Das hat mit dem R² erstmal nichts zu tun. Da die Matrix auf Elemente des R³ abbildet, ist das Bild der Matrix eine Teilmenge (genau genommen sogar ein Unterraum) des R³. Sofern die Dimension dieses Unterraums gleich 2 ist, gibt es eine isomorphe Abbildung zwischen diesem Unterraum und dem R².

31.03.2015, 19:42

MatheTobi94

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die ausführliche Antwort, Thema ist nun geklärt smile

Neue Frage »

Antworten »

Verständnisfragen zu: Bild, Rang, Kern, Dimension, lineare Hülle

Verwandte Themen