Resolvente abschätzen

30.03.2015, 15:26

Alpha83

Resolvente abschätzen

Meine Frage:
Hey!

Wir haben in Funktionalanalysis gerade die Resolvente eingeführt. Wir sollen nun zeigen, dass für einen linearen abgeschlossenen Operator $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \|(T- i\lambda)^{-1}\| = \frac{1}{|\lambda|}, \lambda \in \mathbb R \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich muss zugeben, dass ich keine Ahnung habe, wie man das zeigen soll.

31.03.2015, 14:36

Ehos

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Meiner Meinung nach ist die Aufgabenstellung unvollständig, denn es müsste noch gesagt werden, was $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ bedeutet. Ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ etwa der kleinste Eigenwert?

31.03.2015, 16:00

Alpha83

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Ja du hast natürlich recht. Es muss gelten, dass $\begin{eqnarray*} \lambda \in \rho(T) \end{eqnarray*}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray*} \rho(T) \end{eqnarray*}$ die Resolventenmenge, das heisst

$\begin{eqnarray*} \rho(T) = \{ \lambda \in \mathbb C: T- \lambda \, \text{injektiv und}\ (T- \lambda)^{-1} \, \text{linear und beschränkt} \} \end{eqnarray*}$ oder äquivalent

$\begin{eqnarray*} \rho(T) = \{ \lambda \in \mathbb C: T- \lambda \,\text{bijektiv} \} \end{eqnarray*}$ .

01.04.2015, 09:50

Ehos

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Ich führe mal die Abkürzung $\begin{eqnarray*} A=(T-i\lambda E)^{-1} \end{eqnarray*}$ ein, wobei E der Einheitsoperator ist. Bekanntlich ist die Nom eines beliebigen Operators A definiert als $\begin{eqnarray*} ||A||=Max\,\, \tfrac{||Ax||}{||x||} \end{eqnarray*}$ . Du willst also zeigen

$\begin{eqnarray*} Max\,\, \tfrac{||Ax||}{||x||}=\tfrac{1}{|\lambda|} \end{eqnarray*}$

Indem wir auf beiden Seiten den Kehrwert bilden, kehren wir diese Gleichung um

$\begin{eqnarray*} Min\,\, \tfrac{||x||}{||Ax||}=|\lambda| \end{eqnarray*}$

Im Zähler setzen wir $\begin{eqnarray*} Ax=y \end{eqnarray*}$ und folglich im Nenner $\begin{eqnarray*} y=A^{-1} \end{eqnarray*}$ . Also musst du beweisen, dass

$\begin{eqnarray*} Min\,\, \tfrac{||A^{-1}y||}{||y||}=|\lambda| \end{eqnarray*}$ ,

Wegen der obigen Abkürzung $\begin{eqnarray*} A=(T-i\lambda E)^{-1} \end{eqnarray*}$ bedeutet das

$\begin{eqnarray*} Min\,\, \tfrac{||(T-i\lambda E)y||}{||y||}=|\lambda| \end{eqnarray*}$

Diese Aussage dürfte etwas "handlicher" sein als die ursprünglich zu beweisende Aussage. Bin kein Spezialist für Funktionalanalysis. Aber ich glaube, es gibt einen "Satz über den kleinsten Eigenwert", den man eventuell verwenden kann.

01.04.2015, 14:06

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Ehos
Bekanntlich ist die Nom eines beliebigen Operators A definiert als $\begin{eqnarray*} ||A||=Max\,\, \tfrac{||Ax||}{||x||} \end{eqnarray*}$

Wenn schon, dann mit dem Supremum. Für lineare Operatoren:
$\begin{align*} \|A\|=\sup_{\|x\|=1}\|Ax\|= \sup_{\|x\|\le 1}\|Ax\| \end{align*}$

02.04.2015, 12:03

Alpha83

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Am besten ist es vielleicht, wenn ich die Frage anders stelle. Hätte ich von Anfang an tun sollen, sorry...

Zeige, dass für einen selbst-adjungierten linearen Operator $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \in \rho(T) \end{eqnarray*}$ gilt dass

$\begin{eqnarray*} \|(T- \lambda)^{-1}\| = \frac 1 {dist(\lambda, \sigma(T))} \end{eqnarray*}$ .

Dass $\begin{eqnarray*} \|(T- \lambda)^{-1}\| \geq \frac 1 {dist(\lambda, \sigma(T))} \end{eqnarray*}$ ist mir klar. Wie kann ich aber zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \|(T- \lambda)^{-1}\| \leq \frac 1 {dist(\lambda, \sigma(T))} \end{eqnarray*}$ gilt?

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