Summe unabhängiger Zufallsvariablen und ein bedingter Erwartungswert

30.03.2015, 15:38

schomi

Summe unabhängiger Zufallsvariablen und ein bedingter Erwartungswert

Hallo zusammen!

Ich habe folgendes Problem. Sei $\begin{eqnarray*} X \sim U[0,1] \end{eqnarray*}$ (also X ist eine gleichverteilte Zufallsvariable auf dem Interval [0,1]) und $\begin{eqnarray*} Y \sim U[0,k] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1 \leq k \end{eqnarray*}$ . Definiere daraus die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} Z = Y + X \end{eqnarray*}$ .

Ich interessiere mich nun für $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}[Y \mid Z] = \int y f_Y(y | Z) dy \end{eqnarray*}$ .

Meine Überlegungen soweit sind die folgenden. Die Dichte der Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ ist gegeben durch die Faltung der Dichten von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} f_Z(z) = \begin{cases} z/k & 0 \leq z \leq 1\\ 1/k & 1 < z \leq k\\ (k+1-z)/k & k < z \leq 1 +k\\ 0 & else. \end{cases} \end{eqnarray*}$

Wir wissen ausserdem, dass $\begin{eqnarray*} f_Y(y |Z) f_Z(z) = f_Z(z |Y) f_Y(y) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} f_Z(z |Y) = f_X(x) = 1 \end{eqnarray*}$ wegen der Konstruktion von $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ . Damit wäre nun

$\begin{eqnarray*} f_Y(y|Z) = \frac{f_Y(y)}{f_Z(z)} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} f_Y(y) = 1/k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y \in [0, k] \end{eqnarray*}$ . Die Lösung, die ich damit rauskriegen würde, scheint mir allerdings falsch zu sein. Intuitiv würde ich das folgende erwarten. Angenommen $\begin{eqnarray*} k =1 \end{eqnarray*}$ und ich beobachte die Realisierung $\begin{eqnarray*} z= 1/2 \end{eqnarray*}$ . Damit weiss ich, dass sowohl x als auch y in [0, 1/2] liegen wo sie "immer noch" gleichverteilt sein sollten. Ich würde dann erwarten dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}[y | Z = 1/2] = 1/4 \end{eqnarray*}$ .

Stimmt der Ansatz oben? Gibt es einen anderen Weg um die bedingte Dichte $\begin{eqnarray*} f_Y(y|Z) \end{eqnarray*}$ direkt zu bestimmen? Oder kann ich die Dichte $\begin{eqnarray*} f_{Y,Z} \end{eqnarray*}$ bestimmen um damit weiter zu arbeiten?

Vielen Dank für Eure Hilfe und liebe Grüsse,
schomi

30.03.2015, 23:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von schomi
wobei $\begin{eqnarray*} f_Z(z |Y) = f_X(x) = 1 \end{eqnarray*}$ wegen der Konstruktion von $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ .

Das stimmt gewiss nicht für alle reellen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ . Tatsächlich gilt es nur für $\begin{eqnarray*} Y\leq z\leq Y+1 \end{eqnarray*}$ , für die anderen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ist diese bedingte Dichte gleich Null - vielleicht ist das der Punkt, der letztlich zu einem fehlerhaften Ergebnis bei dir führt? verwirrt

31.03.2015, 07:39

schomi

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Das stimmt und war mir auch bewusst. Ich war da nicht genau genug beim aufschreiben.

Kann man vielleicht $\begin{eqnarray*} f_Y(y|Z) \end{eqnarray*}$ direkt als Faltung berechnen?

31.03.2015, 10:35

schomi

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Ich glaube ich habe die Lösung. Der Ansatz ist intuitiv, aber sollte stimmen.

Wir müssen drei Fallunterscheidungen machen.

1. $\begin{eqnarray*} z \leq 1 \end{eqnarray*}$

In diesem Fall wissen wir, dass sowohl $\begin{eqnarray*} x \leq z \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} y \leq z \end{eqnarray*}$ . Damit können wir die bedingten Erwartungswerte $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}[x | x \leq z] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}[y | y \leq z] \end{eqnarray*}$ ausrechnen, die durch $\begin{eqnarray*} z/2 \end{eqnarray*}$ gegeben sind.

2. $\begin{eqnarray*} 1 \leq z \leq k \end{eqnarray*}$

In diesem Fall wissen wir, dass $\begin{eqnarray*} z-1 \leq y \leq z \end{eqnarray*}$ (weil $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ "nicht genügt um $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ zu erklären") und dass $\begin{eqnarray*} x\in [0, 1] \end{eqnarray*}$ . Damit ergeben sich die (un)bedingten Erwartungswerte $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}[y | z-1 \leq y \leq z] = z- 1/2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}[x] = 1/2 \end{eqnarray*}$ .

3. $\begin{eqnarray*} k \leq z \leq k+1 \end{eqnarray*}$

In disem Fall wissen wir dass sowohl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ "nicht genügen" um $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ zu erklären. Damit ergeben sich die bedingten Erwartungswerte $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}[x | z- k \leq x] = (z-k +1)/2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}[y | z-1 \leq y] = (z-1 + k)/2 \end{eqnarray*}$

Diese drei Fälle lassen sich zusammen fassen:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}[y | z] = \begin{cases} z/2 & 0 \leq z \leq 1\\ z- \frac{1}{2} & 1 \leq z\leq k\\ \frac{z-1+k}{2} & k \leq z \leq k+1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Die Lösung macht intuitiv Sinn, hat keine Sprünge und erfüllt die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}[y | z] = \mathbb{E}[z-x|z] = z- \mathbb{E}[x|z] \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} z \in [0, k+1] \end{eqnarray*}$ .

Ein kurzes Feedback zur Lösung wäre toll!

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